概率论与数理统计—分布（随机变量）

“0-1”分布

两点分布、伯努利分布

$E(X)=p$

$D(X)=p(1-p)$

二项分布

$n$重伯努利实验

$X\sim B(n,p)$

$P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$

$E(X)=np$

$D(X)=np(1-p)$

超几何分布

n为次数，M为目标个数，N为总体个数：$N=(M)+(N-M)$

$X\sim H(n,M,N)$

$P(X=m)=\frac{C_M^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$

$E(X)=\frac{nM}{N}$

$D(X)=?$

当$N->\infty$时，$X\sim B(n,\frac{M}{N})$

泊松Poisson分布

$X\sim P(\lambda )$

$P(X=k)=P_{\lambda }(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

$E(X)=D(X)=\lambda$

n很大、p很小、np值不太大，$C_n^k{p}^k{q}^{n-k}\approx \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }(\lambda =np)$

几何分布

$P\sim G(p)$

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p=q^{k-1}p$

$E(X)=\frac{1-p}{p}$

$D(X)=\frac{1-p}{p^2}$

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均匀分布

$X\sim U(a,b)$

$E(X)=\frac{a+b}{2}$

$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
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指数分布

$X\sim E(\lambda )$

$E(X)=\frac{1}{\lambda }$

$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
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对任意$s>0,t>0$，有：$P(X>s+t|X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=P(X>t)$

如果用$X$代表寿命，上式表明在已存活$s$年的情况下，再存活$t$年的概率只与$t$有关。这种性质称为无后效性。实际中，随即服务系统的等候时间、电子元件的寿命都服从指数分布，指数分布在可靠性理论、排队理论应用广泛

正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

$Y=\frac{X-u}{\sigma }\sim N(0,1)$

$F(x)=\Phi (\frac{x-u}{\sigma })$