CAGD——CAGD中曲线论与曲面论

一、CAGD中曲线论

1、曲线参数域：描述形状的参数曲线总是有界的。参数曲线的范围可以方便的用参数区间即定义域u1≤ u ≤ u2或u∈[u1,u2]来表示。也称为曲线的参数域。
2、曲线参数的意义：参数曲线中的参数可能具有某种几何意义。也可能没有任何意义（一般参数或任意参数）。
例如：在xoy平面上第一象限内圆心位于原点的四分之一单位圆可表示为：

其中，参数θ就具有明确的几何意义，它表示从圆心到圆上一点的半径矢量对于x轴正向夹角。
3、曲线的参数化：给定一个具体的单参数的矢函数，即给定了一个具体的参数曲线方程。称之为给定了一个曲线的参数化。它决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参数域内的点之间的一种对应关系。如图所示：

如图给出了对应参数域内均匀分布的点，曲线上点的分布。正常情况下，曲线上参数为u的点p(u)与参数u轴上定义域内的点一一对应。在曲线上凡这种映射关系不成立的点成为奇点。曲线的自交点即重点对应两个参数值就是奇点。同一条曲线的参数化不唯一。
用不同的曲线方程描述同一条曲线，一般其差别在于曲线上的点与参数域内的点之间的对应关系不同。可通过参数变换来改变一条曲线的参数，称为重新参数化。
4、曲线导矢：曲线对参数u求导等于各分量分别对参数u求导，即对于曲线：

CAGD中，曲线的一阶导矢为：

曲线在u = u0 处的一阶导矢为：

一阶导矢

称为曲线在u =u0处的切矢。
5、曲线的方向：曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。曲线在一点的方向即曲线在该点的切线方向。也就是曲线在该点的切矢的方向。
如果

为0 ，则曲线在

点处的切线方向就不能由该点处的一阶导矢确定。这时，曲线在该点的切线方向可由曲线在该点的处的最低阶的非零导矢的方向决定。
曲线上一点关于参数u的一阶导矢为零矢量，称之为切矢消失，这样的点也是奇点。曲线上切矢为非零矢量的点成为正则点。
曲线上一点关于参数u的一阶导矢为零矢量，称之为切矢消失，这样的点也是奇点。曲线上切矢为非零矢量的点成为正则点。
6、曲线的弧长微分：

曲线的弧长s是参数u的单调递增函数，曲线上参数增加的方向即弧长度量的正向。

二、CAGD中曲面论

1、曲面范围：曲面的范围常用两个参数的变化区间所表示的uv参数平面上的一个矩形区域u1≤u≤u2 , v1≤v≤v2给出。这样就得到具有四条边界的曲面即四边曲面。曲面也可以定义在uv参数平面的某一区域ℜ上，用(u,v)∈ℜ给出。正常情况下，参数域内的点与曲面上的点构成一一对应的映射关系。如下图所示。

2、曲面的参数化：给定一个具体的曲面方程，称之为给定了一个曲面参数化。
曲面的参数化不是唯一的。如果固定其中一个参数如v=v0 ，p(u,v0)成为单参数u的矢函数，表示曲面上一条以u为参数的曲线，简称u线。类似的，p(u0,v)表示曲面上的一条v线。因此，参数曲面上存在两族等参数线，即一族u线和一族v线。曲面上一点p(u0,v0)处总有一条u线和一条v线。
u线在该点的切矢即关于u的偏导矢：

称为u向切矢。
v线在该点的切矢即关于v的偏导矢：

称为v向切矢。