扩展欧几里得算法

题目描述

给定n对正整数，对于每对数，求出一组$x_i,y_i$ ，使其满足$a_i{x}_i+b_i{y}_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式

第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含两个整数$a_i,b_i$

输出格式

输出共n行，对于每组$a_i,b_i$，求出一组满足条件的$x_i,y_i$，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的$x_i,y_i$均可。

数据范围

$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i,b_i\le 2\ast 10^9$

输入样例

2
4 6
8 18

输出样例

-1 1
-2 1

扩展gcd

用于求解方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解

当 $b=0$ 时 ，$ax+by=a$ 故而 $x=1,y=0$
当 $b\ne 0$ 时

因为
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
而
$bx+(a\%b)y=gcd(b,a\%b)$
$bx+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)y=gcd(b,a\%b)$
对左边式子展开
$ay+b(x-\lfloor a/b\rfloor \ast y)=gcd(b,a\%b)$
上下两式对比
$ax+by=gcd(b,a\%b)$
则有
$x=y,y=x-\lfloor a/b\rfloor \ast y$

有了上述结论，我们就可以写代码了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b==0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1,y1,d;
    d = exgcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a/b*y1;
    return d; 
}
int main(){
    int n,a,b,x,y;
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>a>>b;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}