算法之并查集

并查集

包含两个操作

• 将两个集合合并
• 询问两个元素是否在一个集合当中
  时间复杂度近乎O(1)

基本原理

每个集合用一棵树来表示，树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，p[x]表示x的父节点

问题1

如何判断树根：if (p[x] == x)

问题2

如何求x的集合编号：while(p[x] != x) x = p[x];

问题3

如何合并两个集合：假设p[x] 是x的集合编号，p[y] 是y的集合编号，p[x] = y

并查集优化

路径压缩

并查集里的 find 函数里可以进行路径压缩，是为了更快速的查找一个点的根节点。对于一个集合树来说，它的根节点下面可以依附着许多的节点，因此，我们可以尝试在 find 的过程中，从底向上，如果此时访问的节点不是根节点的话，那么我们可以把这个节点尽量的往上挪一挪，减少数的层数，这个过程就叫做路径压缩。

例题合并集合

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。
现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。
每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10⁵

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

代码如下：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    private static int[] p;	//父节点
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] s = br.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(s[0]);
        int m = Integer.parseInt(s[1]);

        p = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {	//初始时，各个节点的父节点s
            p[i] = i;
        }

        while (m -- > 0) {
            s = br.readLine().split(" ");
            String c = s[0];
            int a = Integer.parseInt(s[1]);
            int b = Integer.parseInt(s[2]);
            if (c.equals("M")) {
                p[find(a)] = find(b); //找到两个集合的祖宗节点，合并
            } else {
                if (find(a) == find(b)) {
                    System.out.println("Yes");
                } else {
                    System.out.println("No");
                }
            }
        }
    }
    public static int find(int x) { //判断是否再一个集合，祖宗节点是同一个就是一个集合
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);	// 路径压缩
        }
        return p[x];
    }
}