【NOI2002/LOJ10215】荒岛野人

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#扩展欧几里得 #LOJ #NOI

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本文深入探讨了扩展欧几里得算法在解决特定数学问题中的应用，通过实例讲解了如何利用该算法求解模意义下的线性方程组，提供了一段C++代码实现，展示了算法的高效性和实用性。

题目：LOJ10215

解析：

扩展欧几里得。
题目就是要求解： $c[i]+k*p[i]\equiv c[j]+k*p[j](modM)$
转化一下： $a*(p[i]-p[j])-b*m\equiv c[j]-c[i](modM)$
于是用扩展欧几里得解最小 $a$ ，若无解或 $a\geq min（l[i],l[j]）$ ，则满足题意

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=20;
int n,m,x,y,mx,ans;
int c[Max],p[Max],l[Max];

inline void init()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]),mx=max(mx,c[i]);
}
inline int GCD(int a,int b){return !b?a:GCD(b,a%b);}
inline void exgcd(int a,int b)
{
	if(!b) x=1,y=0;
	else
	{
	  exgcd(b,a%b);
	  int t=x;
	  x=y,y=t-a/b*x;
	}
}
inline bool check(int mid)
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	  for(int j=i+1;j<=n;j++)
	  {
	  	int gcd=GCD(p[i]-p[j],mid);
	  	if((c[j]-c[i])%gcd) continue;
	  	int a=(p[i]-p[j])/gcd,b=mid/gcd;
	  	exgcd(a,b),b=abs(b);              //注意abs
	  	x=(x*(c[j]-c[i])/gcd%b+b)%b;
	  	if(!x) x+=b;                       // 注意
	  	if(x<=min(l[i],l[j])) return 0;
	  }
	return 1;
}
inline void solve()
{
	for(int i=mx;;i++) if(check(i)) {ans=i;break;}
	cout<<ans;
}

int main()
{
	init();
	solve();
	return 0;
}