【马拉车算法】POJ 3974 Palindrome

这段时间要沉迷刷题一段时间了，就让优快云陪我一起吧！

一、题目大意

题目的意思很简单，就是给定字符串的最长回文子串。

二、题目思路以及AC代码

虽然题目意思很容易理解，也是一个经典的DP题目，但这道题却并不好AC，主要是给的数据量太大了，字符串的长度最长为1000000。

如果是最经典的最长回文子串的做法就是区间DP，时间复杂度是n²，一看时间，给了15s，好像还有戏，那么我们来看一下空间复杂度，对于经典的区间DP，也是n²，这就没办法了，1000G的内存，这肯定是不行的。

所以这道题肯定要用O(n)的方法来解。那么问题是如何将最长回文子串用O(n)的方法求解呢？这也是我先学的，名为Manacher算法，俗称马拉车算法。其实代码中最为主要的就是一个公式，其他的部分可以参照Manacher’s Algorithm(很短，大家不会花很长时间)。

对于其中的那个p[i]的公式，我觉得他讲述的还不够清楚，当然，这里也是为自己巩固一下。公式是这样的：

具体的代码实现部分是如下这样：

for (int i = 1; i < len; i++) {
		p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
		while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) p[i]++;
		if (mx < i + p[i]) {
			mx = i + p[i];
			id = i;
		}
		if (resLen < p[i]) {
			resLen = p[i];
		}
	}

我觉得这段还是结合代码来讲解比较好，代码中的t就是形如’$#a#b#c…#b#'的字符串，对于上述公式，可以看到，首先比较mx和i，为什么要比较这两个呢？因为我们的目的是要实现一个时间复杂度为O(n)的算法，所以就尽可能的不重复的对一些值进行遍历，那么这里mx表示当前找到的回文串中最右边的那个值的索引，i表示当前遍历到的值，如果mx>i，则说明以i为中心的回文子串已经有一部分是知道的，其实就是跟i关于id对称的位置的p，设这个对称位置为j，那么就是p[j]，但这里的p[j]可能会超过mx-i，那样就不能保证一定是回文子串了，就需要自行去遍历检验。这样说可能比较抽象，我通过实例来说明一下。

比如现在有字符串$#a#b#a#c#a#b#a#，那么当我扫描到i = 12(b)的时候，我此时的id = 8©，mx = 16，那么我首先比较mx和i，mx > i，说明新扫描的b被包含在之前的某个回文串中，也就是id - p[id]到id + p[id]中，那么说明我此时的回文串和与c对称的位置的回文串部分相同，所以我找到j = 2*id - i = 4的位置(左边的b)，然后看他的p[j]是多少，发现是4，而且mx - i也是4，所以直接让p[i] = 4，就可以免去查找这几个地方的遍历了，就减少了时间复杂度。

下面给出AC代码，500ms

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 2000010
using namespace std;

int p[MAXN];
string str;

int Manacher(string s) {
	int len = s.length();

	string t = "$#";
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		t += s[i];
		t += '#';
	}

	int mx = 0;
	int id = 0;
	int resLen = 0;
	len = t.length();
	for (int i = 1; i < len; i++) {
		p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
		while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) p[i]++;
		if (mx < i + p[i]) {
			mx = i + p[i];
			id = i;
		}
		if (resLen < p[i]) {
			resLen = p[i];
		}
	}

	return resLen - 1;
}

int main()
{
	int Case = 1;
	while (cin >> str) {
		if (str == "END") break;

		cout << "Case " << Case++ << ": ";
		cout << Manacher(str) << endl;
	}

    return 0;
}

如果有问题，欢迎大家指正！！！