【位运算】把整数以二进制形式打印出来玩玩

1. 概念

在现代计算机中所有的数据都以二进制的形式存储在设备中,即0、1两种状态。
计算机操作位运算往往要比算术运算的的效率要高很多,位运算常用来进一步提高代码运行速度。

1.1 位运算分类

运算 运算符 运算逻辑 举例
& 只有两个对应位都为 1时才为 1 0011 & 0101 = 1000
I 两个对应位至少有一个1时就为 1 0011 l 0101 = 0111
异或 ^ 只有两个对应位不同时才为 1 0011 ^ 0101 = 0110
按位取反 ~ 1变0,0变1 ~ 0011 = 1100
左移 num<< i 表示将 num 的二进制表示向左移动 i 位所得的值。 0011<< 2 = 1100
右移 num >> i 表示将 num 的二进制表示向右移动 i 位所得的值。 0101 >> 2 = 0001

1.2 以二进制形式打印出整数

    public static void printBinary(int a) {
   
   
        for (int i = 31; i >=0 ; i--){
   
   
            System.out.print((a & (1 << i)) == 0 ? "0" : "1");
        }
        System.out.println();
    }

2. 玩一会二进制

2.1 把一些常见的整数及运算打印出来看看


public static void main(String[] args) {
   
   
        System.out.println("============= 打印5 =========");
        int a = 5;
        printBinary(a);

        System.out.println("============= Integer.MAX_VALUE =========");
        int b = Integer
### 实现整数拆分为多个二进制数之和的方法 要实现将一个整数拆分为多个二进制数之和的形式,可以通过动态规划的思想解决此问题。以下是详细的说明以及示例代码。 #### 动态规划思路 定义 `f(n)` 表示将整数 `n` 拆分为若干个不同二进制数相加之和的方式总数。为了计算 `f(n)` 的值,可以利用如下递推关系: - 如果当前考虑的是数值 `i`,则将其分解为两部分:一部分是最后一个使用的二进制数 `j`,另一部分则是剩余的部分 `i-j`。 - 对于每一个可能的二进制数 `j`(即满足 \( j \leq i \) 并且 \( j \) 是 2 的幂次方),我们有状态转移方程: \[ f(i) = f(i) + f(i - j) \] 其中,\( j \in \{1, 2, 4, 8, ...\} \) 即所有的二进制单位权重[^1]。 由于题目要求输出的结果是对 \( 10^9 \) 取模后的值,因此在每次更新过程中都需要取模操作以防止溢出。 --- #### 示例代码 (C++) 下面是基于上述算法的具体实现代码: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MOD = 1e9; int dp[1000001]; // 定义dp数组用于存储中间结果 int main() { memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化dp数组全为0 dp[0] = 1; // 初始条件:当目标值为0时,有一种方案 for(int j = 1; j <= 1000000; j *= 2){ for(int i = j; i <= 1000000; ++i){ dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % MOD; // 更新状态并取模 } } int n; cin >> n; // 输入待查询的整数n cout << dp[n] << endl; // 输出最终结果 return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **初始化**:设置 `dp[0]=1`,因为对于任何数来说,如果不需要选取其他数字,则本身就构成一种合法解法。 2. **外层循环控制二进制权值**:通过遍历所有可能作为加项的二进制权值(如 1、2、4...),逐步构建更大的数值组合可能性。 3. **内层循环更新DP表**:针对每个固定的二进制权值,在其范围内依次增加新的贡献到更高位上,从而完成整个表格填充过程。 4. **取模运算**:为了避免大数处理带来的复杂度提升,每一步都进行了对 \(10^9\) 的取余操作。 --- #### 时间与空间复杂度分析 - **时间复杂度**: 大约为 O(k * N),其中 k 是有效二进制权值的数量 (\(\log_2(N)\)),而 N 是最大输入范围内的自然数数量。总体而言效率较高能够胜任本题需求。 - **空间复杂度**: 使用了一个大小固定的一维 DP 数组来保存中间状态信息,故占用额外内存资源较少。 ---
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