SDOI2014 数表【莫比乌斯反演】

最新推荐文章于 2022-02-26 16:04:00 发布

tystrwor

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分类专栏：【数学】【数学】-莫比乌斯反演【数学】-容斥原理

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【数学】-莫比乌斯反演

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本文介绍了一种针对特定数表的高效求和算法，该数表由行和列的公约数之和构成。通过预处理和离线查询优化，实现了快速计算数表中小于等于给定阈值的所有元素之和的功能。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有一张 n×m 的数表，其第 i 行第 j 列（1 <= i <= n, 1 <= j <= m）的数值为

能同时整除 i 和 j 的所有自然数之和。给定 a , 计算数表中不大于 a 的数之和。

Input

输入包含多组数据。

输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数

接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

1 < =N．m < =10^5 ， 1 < =Q < =2×10^4

Output

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2 4 4 3 10 10 5

Sample Output

20 148

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=(LL)1<<31;
const int N=1e5;
const int NN=1e5+10;
bool check[NN];
int pri[NN],mu[NN],tot,bit[NN],ans[NN];
pair<int,int>sum[NN];
struct edge
{
    int n,m,a,id;
    bool operator<(const edge&c)const
    {
        return a<c.a;
    }
} v[N];
void Moblus()
{
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2; i<=N; i++)
    {
        if(!check[i])pri[tot++]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=0; j<tot&&(LL)i*pri[j]<=N; j++)
        {
            check[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int val)
{
    while(i<=N)
    {
        bit[i]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int getsum(int i)
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=bit[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}
int query(int n,int m)
{
    int ret=0;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int l=1,r; l<=n; l=r+1)
    {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ret=ret+(getsum(r)-getsum(l-1))*(m/l)*(n/l);
    }
    return ret&0x7fffffff;
}
int main()
{
    Moblus();
    for(int i=1; i<=N; i++)sum[i].first=0,sum[i].second=i;
    for(int i=1; i<=N; i++)
        for(int j=i; j<=N; j+=i)
            sum[j].first+=i;

    sort(sum+1,sum+N+1);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1; i<=T; i++)scanf("%d%d%d",&v[i].n,&v[i].m,&v[i].a),v[i].id=i;
    sort(v+1,v+T+1);
    for(int i=1,j=1; i<=T; i++)
    {
        for(; j<=N&&sum[j].first<=v[i].a; j++)
            for(int k=sum[j].second; k<=N; k+=sum[j].second)
                add(k,sum[j].first*mu[k/sum[j].second]);
        ans[v[i].id]=query(v[i].n,v[i].m);
    }
    for(int i=1; i<=T; i++)printf("%d\n",ans[i]);
}