算法设计之大数字分治计算

divide-conquer算法：

用分治的方式求两个n位整数的乘积。

公式： XY=AC*10ⁿ+[(A-B)(D-C)+AC+BD]10^n/2+B*D

例子：

 X=3141        A=31       B=41        A-B=-10

Y=5327        C=53       D=27        D-C=-26

           AC=(1643)^'

           BD=(1107)^'

          (A-B)(D-C)=(260)^'

XY=(1643)^'10⁴+[(1643)^'+(260)^'+(1107)^']10²+(1107)^'  =(16732107)^'

//第一轮

A=31        A1=3       B1=1        A1-B1=2

C=53        C1=5       D1=3        D1-C1=-2

           A1C1=15     B1D1=3     (A1-B1)(D1-C1)=-4

AC=1500+(15+3-4)10+3=1643

//第二轮

B=41        A2=4       B2=1        A2-B2=3

D=27        C2=2       D2=7        D2-C2=5

           A2C2=8     B2D2=7     (A2-B2)(D2-C2)=15

BD=800+(8+7+15)10+7=1107

//第三轮

|A-B|=10        A3=1       B3=0        A3-B3=1

|D-C|=26        C3=2       D3=6        D3-C3=4

A3C3=2     B3D3=0     (A3-B3)(D3-C3)=4

(A-B)(D-C)=200+(2+0+4)10+0=260

java代码实现：

package SimpleProblem;

import java.util.Scanner;

public class LargeIntegerMulti {

public static void main(String[] args) {

Scanner scanner = new Scanner(System.in);

int x = scanner.nextInt();

int y = scanner.nextInt();

System.out.println(multiply(x,y,(x+"").length()));

}

public static int multiply(int X,int Y ,int N ){

int sign = sign1(X)*sign1(Y);

int x=Math.abs(X);

int y=Math.abs(Y);

if(x==0||y==0) {

return 0;

}

if(N==1) {

return sign*x*y;

}else {

int A = x/(int)Math.pow(10, (int)N/2);   

        int B = x - A * (int)Math.pow(10, N/2);  

        int C = y / (int)Math.pow(10, N/2);  

        int D = y - C * (int)Math.pow(10, (int)N/2); 

System.out.println("A="+A+" B="+B+" C="+C+" D="+D+" A-B="+(A-B)+" D-C="+(D-C));

int AC = multiply(A,C,N/2);

int BD = multiply(B,D,N/2);

int ABDC=multiply(A-B,D-C,N/2)+AC+BD;

System.out.println(AC+"   "+BD+"  "+ABDC);

return (sign * (AC * (int)Math.pow(10, N) + ABDC * (int)Math.pow(10, N/2) + BD));  

}

}

static int sign1(int x) {

return (x>0) ? 1 : -1;

}

}

该算法只需要执行n / 2位整数（AC，BD和（A-B）（D-C））的3次乘法以及6次加法，减法和2次移位操作。 因此，该算法的时间复杂度为：
T（N）= O（nlog3）= O（n1.59）

持续更新～