Multi-task Learning Method for Hierarchical Time Series Forecasting

Yang M , Hu Q , Wang Y . Multi-task Learning Method for Hierarchical Time Series Forecasting[M]// Artificial Neural Networks and Machine Learning – ICANN 2019: Text and Time Series. 2019.

这篇文章基于多任务学习，提出了一种新的集成层次预测的模型。

首先解释一下什么是层次时间序列：

下图更为直观：

motivation

一般而言，层次时间序列预测的实现方法是“两步方法”：首先独立预测所有的时间序列，然后对结果进行协调，满足聚合一致性。这种方法的问题：1.高的计算复杂度（因为对每一个单独预测的时间序列都需要去进行拟合），2.无法确保所有时间序列取得最佳的预测结果。
利用多任务学习的优点，构建了一个集成模型：结合了底层序列的特征 and 层级结构。
该模型特点：1.同时输出所有时间序列的预测，并进行一致汇总；2.利用时间序列之间的相关性；3.通过全局损失函数，实现预测结果总体上最佳

主要贡献

1. 基于多任务学习，提出了一种新型集成层次预测模型， 预测结果满足聚集一致性并且总体上是最佳的。
2. 通过在模型的两部分上施加不同的正则化来学习稀疏模型。
3. 在数值模拟和真实数据上进行实验，都取得了更好的整体性能。

形式定义

$y_t：n$维行向量，t时刻所有观测到的时间序列，$b_t：m$维行向量，所有观测到的底层的时间序列，$a_t：l$维行向量，所有整合的时间序列。
可以得出关系如下：

根据图1的结构可以得到S如下：

通过这个矩阵相乘关系可以同时获得所有时间序列。

两个模型

MHFM（multi-task hierarchical forecasting model）

1. 将底层的所有时间系列的特征提取到整个输入特征空间中；
2. 将层次结构整合到模型中；
3. 通过优化全局目标函数，实现同时预测所有的时间序列并实现整体预测最优。
   公式如下：
   第$i$个时间序列的预测模型：
   
   解析解：
   

多任务分层预测模型：

目标函数：

求解W：

DMHFM（dirty multi-task hierarchical forecasting model）

随着层次中的时间序列数量的增加，很容易陷入维度爆炸，所以学习数据的基础结构（如&#