2016 ACM-ICPC Asia Regional Changchun 1006 Harmonic Value Description（逻辑思维）

原创于 2017-09-12 22:22:42 发布 · 187 阅读

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本文介绍了一种构造特定谐波值排列的方法，该排列在1到n的全排列中，确保相邻元素的最大公约数满足特定条件。文章详细阐述了如何构造第k小的排列，并给出了解决方案的时间复杂度分析及实现代码。

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Harmonic Value Description

题意：1~n的全排列中谐波值严格第k小的排列为多少，排列p1,p2,…,pn的谐波值定义为：

由于p1,p2,…,pn是1~n全排列中的一种，可想而知的是，严格第1小的排列必定是那种任意相邻两个数最大公约数为1的排列。例如排列1,2,3,…,n。

此外，1~n这n个数还是很奇妙的，我们可以构造出任意约数为k的对。当然，前提是k<=n/2，而题目的要求正好是2k<=n。

故谐波值严格第k小的排列可以是存在一对相邻两个数最大公约数为k，其余任意相邻两个数最大公约数为1的排列。

故最方便的构造方法（与样例输出不同，但两者谐波值时一样的）是将2k和k提取出来放在排列最前面，然后构造相邻两数最大公约数为1的排列

即下述这种排列:

2k,k,k-1,k-2,…,2,1,k+1,k+2,…,2k-1,2k+1,…,n-1,n

这么做的原因如下:

⑴gcd(k,2k)=k

⑵自然数中相邻两数的最大公约数为1

⑶自然数中相邻两奇数的最大公约数为1,即gcd(2k-1,2k+1)=1

⑷1与任何数的最大公约数为1

时间复杂度：O(n)

代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int t,n,k,i,p=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        printf("Case #%d:",p++);
        printf(" %d %d",2*k,k);
        for(i=k-1;i>=1;i--)
            printf(" %d",i);
        for(i=k+1;i<=n;i++)
            if(i!=2*k)
                printf(" %d",i);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}