形式化方法 | Proof Engineering in Coq——Coq tatics 在命题逻辑证明中的应用

一、Coq的安装与使用

1、Coq简介

        Coq是一款交互式证明辅助工具，提供一套证明系统，可以编写证明、检查证明；也提供一套形式化语言，可编写数学算法、定义、定理；它还可以用于程序的正确性证明。

2、Coq的安装

Coq-8.11.0 安装包【Windows、MacOS】

链接：https://pan.baidu.com/s/1rAjW8D6G5GJI3sQP1JfG7g 
提取码：ects

安装完成之后，Coq自带CoqIde，对于形式化方法课程来说应该是够用了。

【我有尝试使用另外一种IDE：Proof General，但是没有成功，等成功之后再来更新吧，目前就先用CoqIde了hhhh】

3、Warm-up Test

（1）创建一个名为 coq_warm_up.v 的文件，保存如下代码：

【其中 “.v” 是Coq文件的默认后缀】

Inductive day : Type := 
| monday : day 
| tuesday : day 
| wednesday : day 
| thursday : day 
| friday : day 
| saturday : day 
| sunday : day. 

Definition next_weekday (d:day) : day := 
match d with 
| monday => tuesday 
| tuesday => wednesday 
| wednesday => thursday 
| thursday => friday 
| friday => monday 
| saturday => monday 
| sunday => monday 
end.

Eval compute in (next_weekday friday). 
Eval compute in (next_weekday (next_weekday saturday)). 

（2）运行CoqIde，打开上述文件；

（3）单击 Go to end 按钮，会得到如下的输出：

     = monday
     : day
     = tuesday
     : day

此时说明Coq安装成功。

4、Coq功能分区

• Tool bar 工具栏：提供可执行的基本命令。
• Script buffers 脚本缓冲区：用于打开和编辑脚本。
• Goal window 目标窗口：显示待验证目标。
• Message window 消息窗口

二、Coq Tactics——如果使用Coq进行proof development

在proof development的每个阶段，都有一个要证明的子目标列表。

最初，该列表由所要证明的新定理的本身组成；

应用某些策略之后，目标列表包含该策略生成的子目标，接下来的工作就是分别对这些子目标进行处理。

 

主要包括以下策略：intros, apply, inversion, split, right and left。

 

A basic theorem：

Theorem ident body: type.
Proof.
    Tactics
Qed.

• Theorem - Coq中的一个命令，声明了一个需要证明的新定理；

• ident - 新定理的名称；

• body - 新定理的主体；

• type - 

        forall 新定理中出现的变量名（多个变量用空格隔开）:Prop,

            所要证明的新定理.

• Proof - 标示着证明新定理的开始

• Tactics - 指导证明的过程，在结论和前提之间提出演绎规则，实现反向推理

• Qed - 标示着证明新定理的完成

 

1、Implication（蕴含）：intros and apply tactic

【蕴含的引入规则：intros】

主要用于拆分所要证明定理中的已知前提和所要证明的结论。【详见下方】

 

【蕴含的删除规则：apply】

【详见下方】

 

第一个栗子：证明定理 P -> P成立

证明代码如下：

Theorem example1: forall P: Prop, 
    P -> P.
Proof.
    intros.
    apply H.
Qed.