图之最短路径

    目前求最短路径的算法很多，下面2种是基本不再使用，但却是经典的路径算法。其他路径算法有启发式算法A*,D*,还有树形的RRT, RRT*等。

1. Dijkstra算法

    a. 基本思想：求带权有向图中某个源点到其他各顶点的最短路径，Dijkstra算法十分适用。有向图有N={V, arcs[i][j]}, 而生成单源最短路径为Nt={Vt,dist[i]}。path[]表示从源点到顶点i之间的最短路径前趋点（就是追溯点）。
    b. 实现过程：
      伪代码

void Dijkstra(Graph G,point v){
    //带权有向图，源点v
    Vt=v;           
    dist[i]初始值为arcs[0][i]。 i=1，2，3，..... ，n-1。
    while(Vt!=V){
        选Vj,满足<Vi, Vj>边最小。dist[j] = MIN(dist[i]);
        Vt=Vt U Vj;
        dist[j] = cost;
    }
}

      示意图

    c. 性能分析：使用邻接矩阵表示时，时间复杂度O(|V|^2)。若使用带权的邻接表表示，dist修改会相应边少，但时间复杂度仍然是O(|V|^2)。

2. Floyd算法（基于矩阵最短路径求解）

    a. 基本思想：对于一个所有权值都大于0的带权有向图，对每一对顶点Vi!=Vj，要求求出Vi与Vj之间的最短路径和最短路径长度。递推产生一个n阶方阵序列A(-1), A(0), A(1), ….., A(n-1)。其中A(k)[i][j]表示从顶点Vi到顶点Vj的路经长度，k表示第k个顶点的运算步骤。
    b. 实现过程：
       描述：初始时对于任意2个顶点vi和vj，若有边则以此边上的权值作为最短路径长度，否则使用∞作为最短路径长度。再向其中逐步在原路径中引入顶点k(k=0,1,2,…..,n-1)作为中间顶点。如果引入中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径。

$$A(-1)[i][j] = arcs[i][j]$$
$$A(k)[i][j] = Min{A(k-1)[i][j],A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}$$
其中使用迭代方式，没迭代一次，在从Vi到Vj的最短路径上就多考虑一个顶点，经过n次迭代之后所得到的A(n-1)[i][j]就保存了vi到vj的最短路径长度。
       示意图

    c. 性能分析：时间复杂度为O(|V|^3)。注：允许图中有带负权值的边，但不允许由包含带负权值的回路。