图之最小生成树

    对于一个带权连通无向图G=(V, E)，生成树不同，每颗树的权(树中所有边上权值之和)也可能不同。若T为G所有生成树中权值最小的那颗生成树，则T称为G的最小生成树。下面的2种算法就是基于贪心算法的策略提出的，算法很早提出，但经典。即使早就由代码实现过，但仍然有人在此基础上改进提出其他好的方法。

1. Prim算法

     a. 基本思想：图N={V, E}是连通图，其中V是点集，V是边集。最小生成树Nt={Vt, Et}。算法从Vt={u0},Et={}开始。重复执行下述过程：从所有u∈Vt, v∈V-Vt选出一条代价最小的边(u0, v0)∈E并入集合Et,同时将v0也加入到Vt中，直至Vt=V为止。(代码实现就是使用到里面几个辅助集合，一般使用数组，链表也行）
     b. 实现过程：
         伪代码

void Prim(G,T){
    T=ф;              //初始化空树
    Vt = {u};         //V中随意一个点入树中的顶点集
    while(Vt!=V){     //设树中不含全部顶点
        设（u,v）是使u∈Vt,v∈V-Vt,且权值最小的边;
        Et = Et U (u,v);       //边入树
        Vt = Vt U {v};         //顶点入树
    }
}

         示意图

     c. 性能分析：时间复杂度为O(|V|^2), 因为是从Vt的点一个个映射到V-Vt中的结点形成的边，再根据E判断最小权边，所以每个点的复杂度是O(|V|)，和起来就是O(|V|^2)。适合边稠密的图

2. Kruskal算法

      a. 基本思想：与Prim算法不同，Prim算法是由点找边，扩展成最小生成树。而Kruskal算法是一种按权值递增次序，选择出边来构造最小生成树。图N=(V, E)是连通网，对应的最小生成树T=(Vt, Et)。开始时，Vt=V, Et=ф。从E中按权值从小到大依次从E-Et中选择一条边，如果加入这条边后不构成回路，则将其加入Et, 否则舍弃，直到边数为n-1。
      b. 实现过程：
          伪代码

void Kruskal(V,T){
    T=V;                   //初始化树T,仅含顶点
    numS=n;                //判断是否满足连通
    while(numS>1){         //
        从E-Et中最小的权值的边（v,u）;
        if((u,v)在Vt中不构成回路){
            Et = Et U (v,u);    //加入该边
            numS--;
        }
    }
}

      c. 性能分析：在这个算法中，一般选择堆存放边的集合，则每次选择最小权值边只需O(log|E|)，每次求新边d都是等价类的过程，故时间复杂度O(|E|log|E|)。适合点多边少的图。