最长单调上升子序列问题

问题表述：

给出一个由n个数组成的序列A[1..n]，找出它的最长单调上升子序列。即求最大的m和a1,a2……,am，使得a1 < a2 < …… < am且A[a1] <= A[a2] <= …… <= A[am]。

 

基本方法：动态规划

设f(i)为以A[i]结尾的最长单调上升子序列的长度，那么所求m即为f = max{f(i), 1 <= i <= n}。

f(i) = 1 + max{0, f(j) | A[j] <= A[i], 1 <= j < i}                                                                            ---  (1)

 

基本性质：如果A[i] < A[j]，但是f(i) > f(j)，那么在计算f(k), k > i, k > j的过程中再也不必用到A[j]，即在（1）的解不可能是

f(k) = f(j) + 1，A[j]可以删除了。

证明：反证，如果（1）的解为f(k) = f(j) + 1，那么A[j] <= A[k]，又A[i]  < A[j]，那么A[i] <= A[k]，

且f(k') = 1 + f(i) > 1 + f(j) = f(k)，这与f(k) = f(j) + 1为（1）的解矛盾。

 

基本性质可以表叙为：在保留下来的元素中，如果A[i] < A[j]，那么f(i) <= f(j)。显然的如果i < j，那么f(i) < f(j)，

因为f(j) >= 1 + f(i) > f(i)。

 

得到算法

 

static void max_nondeac(const int *A, const int el_num) { int idx_kept[el_num];/*index set kept*/ int path[el_num]; /*predecessor of each element*/ int idx_kept_num = 0; /*the number of index kept*/ int i, larger; idx_kept[idx_kept_num++] = 0; path[0] = -1; for (i = 1; i < el_num; i++){ /*larger: idx of idx_kept*/ if ((larger = search_first_larger(idx_kept, A, A[i], idx_kept_num)) < idx_kept_num){ /*del and insert*/ if (0 == larger){ path[i] = -1; } else{ path[i] = idx_kept[larger - 1]; } idx_kept[larger] = i; }else{ path[i] = idx_kept[idx_kept_num - 1]; idx_kept[idx_kept_num] = i; idx_kept_num++; } } printf("the number of max no-decreasing subarray is %d/n", idx_kept_num); print_array(A, path, idx_kept[idx_kept_num - 1]); printf("/n"); #ifdef DEBUG printf("path:/n"); for (i = 0; i < el_num; i++){ printf("%5d", path[i]); } printf("/n"); printf("idx_kept:/n"); for (i = 0; i < idx_kept_num; i++){ printf("%5d", idx_kept[i]); } printf("/n"); #endif }

 

09-25行具有下面的循环不变性：

(i) 保留元素A[idx_kept[0]] <= A[idx_kept[1]] <= ... <= A[idx_kept[idx_kept_num-1]]，

     且f(idx_kept[i]) = i, 0 <= idx_kept_num-1。

(ii) path[i]记录了式(1)的解。

 

初始化：显然成立

 

循环性质维护：

1）如果保留元素中存在元素大于A[i]，记满足该条件的最小元素为A[idx_kept[larger]]，A[idx_kept[larger]] > A[i]，

根据假设（i）那么式（1）的解为f(i) = f(idx_kep[larger - 1]) + 1 ＝ larger，path[i]记录了这个解idx_kept[larger - 1]（第17行），

如果larger为0则特殊处理一下（第14行），(ii)成立。根据假设(i)，f(i) = f(idx_kept[larger]) = larger，又A[idx_kept[larger]] > A[i]，因此在后面的f汉顺计算中再也不会用到A[idx_kept[larger]]，所以把A[idx_kept[larger]]删除，并把A[i]放到正确的位置（第19行），且A[idx_kept[larger－1]] <=  A[i] < A[idx_kept[larger]] <  A[idx_kept[larger+1]]，所以(i)也成立。

 

结束：i==el_num，所有元素的path值都得到计算，且保留元素的长度就为最长单调上升子序列的长度。

 

时间复制度：

优化前：O(1+2+...+n-1)=O(n^2)。

优化后：O(nlgn)，因此每次循环查找次数最多为lgn

 

 

完整程序如下

#include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <errno.h> #define DEBUG #define MAX_ELEMENT_NUM 100 static int search_first_larger(const int *idx, const int *A, const int e, const int number) { int l = 0, r = number - 1; int m = (l + r) / 2; while (l <= r){ if (A[idx[m]] <= e){ l = m + 1; }else{ r = m - 1; } m = (l + r) / 2; } return l; } static void print_array(const int *A, const int *path, const int i) { if (-1 == path[i]){ printf("%5d", A[i]); }else{ print_array(A, path, path[i]); printf("%5d", A[i]); } } static void max_nondeac(const int *A, const int el_num) { int idx_kept[el_num];/*index set kept*/ int path[el_num]; /*predecessor of each element*/ int idx_kept_num = 0; /*the number of index kept*/ int i, larger; idx_kept[idx_kept_num++] = 0; path[0] = -1; for (i = 1; i < el_num; i++){ /*larger: idx of idx_kept*/ if ((larger = search_first_larger(idx_kept, A, A[i], idx_kept_num)) < idx_kept_num){ /*del and insert*/ if (0 == larger){ path[i] = -1; } else{ path[i] = idx_kept[larger - 1]; } idx_kept[larger] = i; }else{ path[i] = idx_kept[idx_kept_num - 1]; idx_kept[idx_kept_num] = i; idx_kept_num++; } } printf("the number of max no-decreasing subarray is %d/n", idx_kept_num); print_array(A, path, idx_kept[idx_kept_num - 1]); printf("/n"); #ifdef DEBUG printf("path:/n"); for (i = 0; i < el_num; i++){ printf("%5d", path[i]); } printf("/n"); printf("idx_kept:/n"); for (i = 0; i < idx_kept_num; i++){ printf("%5d", idx_kept[i]); } printf("/n"); #endif } /* * f = max{f(i) | 0 <= i < n} * f(i) = 1 + max{0, f(j) | A[j] <= A[i], 0 <= j < i} */ static void max_nondeac_n2(const int *A, const int el_num) { int f[el_num], max_f; int path[el_num]; int i, j, tmp; f[0] = 1; path[0] = -1; for (i = 1; i < el_num; i++){ max_f = 0; for (j = 0; j < i; j++){ if (A[j] <= A[i]){ if (max_f < f[j]){ max_f = f[j]; tmp = j; } } } f[i] = max_f + 1; if (max_f){ path[i] = tmp; }else{ path[i] = -1; } } max_f = 0; for (i = 0; i < el_num; i++){ if (max_f < f[i]){ max_f = f[i]; tmp = i; } } printf("the number of max no-decreasing subarray is %d/n", max_f); print_array(A, path, tmp); printf("/n"); #ifdef DEBUG printf("path:/n"); for (i = 0; i < el_num; i++){ printf("%5d", path[i]); } printf("/n"); #endif } int main() { FILE *file; int A[MAX_ELEMENT_NUM]; int i, el_num; file = fopen("./max_nondeac.input", "r"); if (!file){ perror("fopen"); exit(1); } for (i = 0; i < MAX_ELEMENT_NUM; i++){ if (EOF == fscanf(file, "%d", &A[i])) break; #ifdef DEBUG printf("%5d", A[i]); #endif } el_num = i; #ifdef DEBUG printf("/n"); for (i = 0; i < el_num; i++){ printf("%5d", i); } printf("/n"); printf("element number %d/n", el_num); #endif max_nondeac(A, el_num); printf("*************************************/n"); max_nondeac_n2(A, el_num); fclose(file); return 0; }