datawhale数学建模导论第五章学习笔记

第5章 进化计算与群体智能

5.1 遗传算法理论与实现

5.1.1 遗传算法

遗传算法被广泛应用于大规模的优化问题，例如非线性规划，离散优化，TSP 问题，VRP 问题，车间调度问题等。

遗传算法通过遗传和变异生成一批候选解，然后在逐代进化的过程中一步步逼近最优解。这里补充几个概念定义：

• 染色体：遗传物质的主要载体，是多个遗传因子的集合。
• 基因：遗传操作的最小单元，以一定排列方式构成染色体。
• 个体：染色体带有特征的实体。
• 种群：多个个体组成群体，进化之初的原始群体被称为初始种群。
• 适应度：用于评价个体适应环境程度的函数值。
• 编码：二进制或十进制去表示研究问题的过程。
• 解码：将二进制或十进制还原为原始问题的过程。
• 选择：以一定概率从种群中选择若干个体的过程，选择的基准方法有很多，常见的有适应度比例法、期望值法、轮盘赌法等。
• 交叉：将两个染色体换组的操作，又称重组。
• 变异：遗传因子按一定概率变化的操作。

遗传算法首先需要对问题进行编码，通常是将函数编码为二进制代码以后，随机产生初始种群作为初始解。随后是遗传算法的核心操作之一——选择，通常选择首先要计算出个体的适应度，根据适应度不同来采取不同选择方法进行选择，常用方法有适应度比例法、期望值法、排位次法、轮盘赌法等。

5.1.2 遗传算法的实现

我们以一个二元函数的寻优为例介绍如何实现遗传算法。

例 5.1 求下面这个函数的极值：

定义函数并给出绘图方法 

def F(x, y):
    return 100.0 * (y - x ** 2.0) ** 2.0 + (1 - x) ** 2.0 # 以香蕉函数为例

def plot_3d(ax):
    X = np.linspace(*X_BOUND, 100)
    Y = np.linspace(*Y_BOUND, 100)
    X, Y = np.meshgrid(X, Y)
    Z = F(X, Y)
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_zlabel('z')
    plt.pause(3)
    plt.show()

函数图像如图所示：

解码方法和适应度评估函数：

def get_fitness(pop):
    x, y = translateDNA(pop)
    pred = F(x, y)
    return pred
# return pred - np.min(pred)+1e-3 # 求最大值时的适应度
# return np.max(pred) - pred + 1e-3 # 求最小值时的适应度，通过这一步 fitness 的范围为[0, np.max(pred)-np.min(pred)]

def translateDNA(pop):
    # pop 表示种群矩阵，一行表示一个二进制编码表示的 DNA，矩阵的行数为种群数目
    x_pop = pop[:, 0:DNA_SIZE] # 前 DNA_SIZE 位表示 X
    y_pop = pop[:, DNA_SIZE:] # 后 DNA_SIZE 位表示