【Gym - 102174】旅行的意义 (概率,DP)

Gym - 102174
题意：
给定一个DAG，起点在$1$号，经过每个节点会停留一天，之后第二天等概率的选择继续停留一天，或者走向后继节点。但每个节点最多停留两天，经过每条边会花费一天。走到不能走为止，求期望天数。

反向逆推答案，定义$dp[i]$表示以$i$号点为起点走到不能走为止的期望天数，$out[i]$表示第$i$个点的出度。
初始化：$dp[i]=1+1+\frac{1}{out[i]+1}$ （到达第$i$节点必定会在路上花费一天，到达后必定停留一天，又有$\frac{1}{out[i]+1}$的停留一天。注意当$i=1$的时候，不必花费路上的一天，因为$1$号点是起点）
转移：$dp[i]+=\sum \frac{dp[j]}{out[i]}$ 。由于花完初始化的天数后，会等可能地($\frac{1}{out[i]}$)选择其中一个后继节点并转移过来，所以每一个节点地期望为$\frac{dp[j]}{out[i]}$，再累和即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define LL long long
#define inl inline
#define re register
#define MAXN 101000
const LL mod=998244353ll;
using namespace std;
int n,m;
struct edge
{
	int to;
	edge* next;
}head[101000],stac[MAXN<<1];
int ind;
edge& gets(){return stac[++ind];}
void add(int from,int to)
{
	edge *p=&gets();
	p->to=to;
	p->next=head[from].next;
	head[from].next=p;
}
LL dp[MAXN],du[MAXN];
LL qpow(LL a,LL b)
{
	LL ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ans=a*ans%mod;
	return ans;
}
bool vis[MAXN];
LL inv(LL i){return qpow(i,mod-2);}
void dfs(int i)
{
	vis[i]=1;
	dp[i]=(2+inv(du[i]+1))%mod;
	if(i==1)dp[i]--,dp[i]%=mod;
	for(edge *p=head[i].next;p!=NULL;p=p->next)
	{
		if(!vis[p->to])dfs(p->to); 
		dp[i]=(dp[i]+dp[p->to]*inv(du[i]))%mod;
	}
}
int main()
{
	int T;cin>>T;
	while(T--)
	{
		ind=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)head[i].next=NULL,vis[i]=dp[i]=du[i]=0;
		for(int s,v,i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d%d",&s,&v);
			du[s]++;add(s,v);
		}
		dfs(1);
		printf("%lld\n",(dp[1]%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}