关于一元二次方程有解的概率问题

最新推荐文章于 2022-07-14 14:58:44 发布

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本文探讨了当a, b, c属于实数时，一元二次方程ax^2+bx+c=0在实数域上有解的概率问题。通过证明概率P(x>y)=P(x<y)=1/2，得出方程有解的概率为1/2。" 123181002,12432541,Caffeine：高性能Java本地缓存框架解析,"['缓存', 'java', '后端', '架构', 'SpringCache']

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昨晚在网上看到有人问这样一个问题： a,b,c∈R ，求方程 ax^2+bx+c=0 在 R 上有解的概率。
    弄到半夜写了一张纸的积分式也没解出来，今天早上起来忽然想明白了，根本用不到积分那么麻烦，现将我想到的解法抄录如下：

首先证明:对任意x,y∈R，x大于y的概率 P(x>y)和x小于y的概率P(x<y)都等于1/2。
    设 t=f(y)=x-(y-x)=2x-y
    对于任意 y∈(x,+∞)，都可以在(-∞,x)上找到一个且唯一的t与y对应；
    同时，对于任意 y∈(-∞,x)，也都可以在(x,+∞)上找到一个且唯一的t与y对应。
    因此，在映射t=f(y)下，(-∞,x)与(x,+∞)上的实数一一对应，也就是说，(-∞,x)与(x,+∞)上的实数数量“相等”。

所以对任意 x,y∈R，P(x>y)＝P(x<y)＝1/2

方程 ax^2+bx+c=0 在R上有解，等价于 b^2-4ac≥0，即b^2≥4ac。又 P(b^2≥4ac)=1-P(b^2<4ac)，因此问题转化为求概率 P(b^2<4ac)。
由之前的证明得，P(a>0)=1/2，P(a<0)=1/2。以及条件概率 P(b^2<4ac|a>0)=P(b^2/4a<c|a>0)=1/2