【JZOJ 3424】 粉刷匠 /【JZOJ 4254】 集体照

Description

有n种颜色的球，每种颜色有a[i]个，要把这些球排成一行，相邻的两个位置颜色不能相同，问可行排法。

Analysis

2019/2/21 UPD：
默认球不可区分，可区分只需要将不可区分的答案乘上$\prod a_i!$即可
使用容斥原理做可以做到$O(n\ast \Sigma a_i\ast max(a_i))$甚至更优的复杂度
基本思路就是用无限制-至少一对相邻+至少两对…
考虑到对相邻对个数的贡献，每种颜色独立，我们可以分开考虑
对于颜色$k$的生成函数为
$$f_k(x)=\sum _{i=1}^{a_k}\frac{(-1{)}^{a_k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_k-1}{i-1})x^i}{i!}$$
其中$i$为枚举将$a_k$分为$i$段
把多项式全部乘起来就可以求答案了

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以下为原文

竟然是原题，比赛时我竟然没有想到，也没有看出来是原题( ⊙ o ⊙ )，做过的题又不会做了我真是。。。。
只能怪自己太弱！
其实比赛的时候知道是DP,一直在设状态乱搞。
题解的dp方法的思路非常值得学习。
设$f[i][j]$表示做了前i种颜色，产生了j个不合法的位置。
那我们新来一种颜色，其实就是将若干个相同颜色的球插进原先的一个序列里。
设$s[n]={\sum }_{i=1}^{n}a[i]$，k表示将当前第i种颜色的球分成k组，t表示有t组将插到原来的j个不合法位置，则转移方程为
$$f[i][j+a[i]-k-t]+=f[i-1][j]\ast C_{a[i]-1}^{k-1}\ast C_j^t\ast C_{s[i-1]-j+1}^{k-t}$$
三个组合数的意思分别是分组可行方案数，j组分t组可行方案数，剩下插入的方案数。
至于其他部分，可以自己模拟一下。