矩阵快速幂

本文以矩阵快速幂在求斐波那契数列的第n项

首先我们可以指导斐波那契数列的递推关系  F（n）=F（n-1）+F(n-2)

我们可以把这个关系转为矩阵关系

（F（n），F（n-1））=F（F（n-1）,F(n-2)）*A

A为某矩阵

我们以数列前三项为例  前三项分别是 1  1  2

    （F（3），F（2））=（F（2）,F(1)）*A

=> （2,1）=（1,1）| 1    1  |  

                                |  1    0 |  （我们可以看到，A矩阵就是前面这个矩阵）

  （F（4），F（3））=（F（3）,F(2)）*A

 这里面 利用前面的结果

  （F（4），F（3））=（1,1）| 1   1    | *A=（1,1）*A^2

                                                    | 1    0   |

往后递推下去，我们可以得到这样的递推式

（F（n），F（n-1））=（1,1）*A^(n-2)

这个问题就转换成了，求矩阵A的（n-2）次方。

而求一个数字的n次方，有一个简便方法，比如我们求4的70次方

70的二进制形式是 100 0110

有三个1  分别对应2的一次方，二次方，六次方

所以4^70=(4^64)+（4^4）+（4^2）

所以我们可以先求出来4的一次方，在此基础上乘4，得到4的二次方，然后求三次方，····一直求到4 的6次方，将一次方，二次方，六次方加起来，就可以得到结果。

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>
using namespace std;
//快速矩阵幂
int (*MultipleMatrix(int base[][2],int tmp[][2]))[2]
{
    int (*ret)[2]=new int[2][2];
	int i,j,k,sum;
	for(i=0;i<2;i++)
	{
	  for(j=0;j<2;j++)
	  {
        sum=0;
	    for(k=0;k<2;k++)
		{
		  sum+=base[i][k]*tmp[k][j];
		}
		ret[i][j]=sum;
	  }
	}
	return ret;

}
int (*nThPowerMatrix(int base[][2],int n))[2]
{
	int (*ret)[2]=new int[2][2];
    int (*tmp)[2]=base;
	ret[0][0]=1;
    ret[1][1]=1;
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
	  for(int j=0;j<2;j++)
	  {
	    if(i==j)
			ret[i][j]=1;
		 else
			 ret[i][j]=0;
	  }
	}
	tmp=base;
	for(;n>0;n=n>>1)
	{
	  if(n&1)
	  {
	    ret=MultipleMatrix(ret,tmp);
	  }
	  tmp=MultipleMatrix(base,tmp);
	}

	return ret;
}

int main()
{ 

	cout<<"以下是使用快速矩阵幂来计算斐波那契数列的第n项值得过程"<<endl;
	int n;
	cin>>n;
	int base[][2]={{1,1},{1,0}};
	int (*res)[2]=nThPowerMatrix(base,n-2);
    cout<<res[0][0]+res[1][0]<<endl;
    
 return 0;
}