POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT

最新推荐文章于 2023-09-13 08:55:54 发布

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本文介绍了解决POJ1222 EXTENDED LIGHTS OUT问题的方法，通过构造矩阵来模拟每次操作对应的影响，并利用高斯消元法求解如何操作才能使所有灯熄灭。

题目链接：POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT

题目大意： 你有一个 $5 * 6$ 的方阵，每个位置有一盏灯，每次你可以打开或关闭一盏灯，但同时会影响周围上下左右的灯，给出起始状态，问如果要把所有灯都灭掉需要的怎么操作。

题目分析： 首先，我们考虑一个 $3 * 3$ 的方阵，例如 $\left| \begin{array}{l} 1 1 0\\ 0 0 0\\ 0 0 0\\ \end{array} \right|$
如果把 $(2, 2)$ 变为 $1$ ，则整体变为
$\left| \begin{array}{l} 1 0 0\\ 1 1 1\\ 0 1 0\\ \end{array} \right|$
我们发现，如果对于一个位置操作，只会影响到他周围的位置，并且每个点只会被操作一次(操作两次就变回去了)。于是就可以构造矩阵 $X_n$ 代表操作，矩阵 $A_n$ 代表第 $x_i$ 个操作对整体的影响， $B_n$ 代表最初局面。
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\\ \end{bmatrix}$
接下来需要做的就是处理系数矩阵，我们将初始矩阵中 $(i, j)$ 这个点放在 $b_{6\times i+j}$ 由于如果处理了这个点，他的上下左右都会发生变化，因此，在系数阵中，将其上下左右的点所对应的系数全部设为 $1$ (具体可参考代码)，最后再套上高斯消元的板子就可以了，下面是代码。
题目代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int ns[100][100],ans[100],a[100][100];
void Gauss(){
	for(int k=0;k<30;k++){
		for(int i=k;i<30;i++)
			if(ns[i][k]!=0){
				for(int j=0;j<=30;j++)
					swap(ns[i][j],ns[k][j]);
				break;
			}
		for(int i=0;i<30;i++)
			if((i^k)&&ns[i][k])
				for(int j=0;j<=30;j++)
					ns[i][j]=ns[k][j]^ns[i][j];
	}
	for(int i=0;i<30;i++)
		ans[i]=ns[i][30];
}
int main()
{
	int t,Case=0;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		memset(ns,0,sizeof(ns));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		for(int i=0;i<30;i++)
			scanf("%d",&ns[i][30]);
		/*
		第i个方程的实际意义是指在此次操作下，第i个灯的最终状态(开始状态)
		而第i个灯的状态有影响到了周围四个灯的状态，因此，第i盏灯所对应的
		未知量xi只有在特定的位置才有系数，其他位置系数都是0 
		*/
		for(int i=0;i<5;i++){
			for(int j=0;j<6;j++){
				int kk=i*6+j;
				ns[kk][kk]=1;
				if(i>0)ns[(i-1)*6+j][kk]=1;
				if(i<4)ns[(i+1)*6+j][kk]=1;
				if(j>0)ns[i*6+j-1][kk]=1;
				if(j<5)ns[i*6+j+1][kk]=1;
			}
		}
		Gauss();
		printf("PUZZLE #%d\n",++Case);
		for(int i=0;i<30;i++){
			printf("%d ",ans[i]);
			if(i%6==5)putchar(10);
		}
	}
	return 0;
}