[NEFUOJ]1507 Fibonacci And Gcd

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本文介绍了一种解决Fibonacci数列与最大公约数(GCD)组合问题的有效算法。通过数学变换，将双层求和问题转化为单层求和，并利用线性筛法快速计算Mu函数前缀和，最终实现线性时间内解决问题。

[NEFUOJ]1507 Fibonacci And Gcd
题目地址 Fibonacci And Gcd
题目大意 $Fib_1=1,Fib_2=1,Fib_n=Fib_{n-1}+Fib_{n-2}$ 求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(Fib_i,Fib_j)$ 结果对1e9+7取模 $(n\leq1000000)$
题目分析： 首先看到 $gcd(Fib_i,Fib_j)$ ，想到将其转化为 $F i b (g c d (i, j))$ ，然后式子就变成了 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mFib_{gcd(i,j)}$ 改为枚举 $Fib_k$ $\sum_{k=1}^{min(n,m)}Fib_k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]$
对后两个 $\sum$ 显然是一个反演的形式，设 $f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==x]$ $g(x)=\sum_{x|d}f(d)$ 反演得 $f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(d)$ 当 $x = 1$ 时， $f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})g(d)$ 即 $f(1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)g(i)$ 而对于 $g (x)$ 将 $f (x)$ 带入可得 $g(x)=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$ 即 $g(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[x|gcd(i,j)]$ 进一步变形 $g(x)=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{x} \rfloor}[1|gcd(i,j)]$
即 $g(x)=\lfloor \frac{n}{x} \rfloor\lfloor \frac{m}{x} \rfloor$
带回到 $f (x)$ 中 $f(1)=\sum_{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\lfloor \frac{m}{i} \rfloor\mu(i)$ 此时，原式变形为 $\sum_{k=1}^{min(n,m)}Fib_k\sum_{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\lfloor \frac{m}{i} \rfloor\mu(i)$ 因此只需要线性筛出 $\mu$ 函数的前缀和即可在线性的时间复杂度内求出答案。
代码如下

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#define mxn 1100000
#define LL long long
#define mod 1000000007
LL mu[mxn],used[mxn],prime[mxn],sum[mxn],Fi[mxn],cnt;
using namespace std;
void swap(LL &a,LL &b){
	a+=b;b=a-b;a-=b;
}
void GetMu(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=mxn;i++){
		if(!used[i]){
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=mxn;j++){
			used[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=mxn;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
LL Work(LL n,LL m){
	LL _sum=0;
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        _sum=(_sum+(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]))%mod;
        _sum=(_sum+mod)%mod;
    }
    return _sum;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	GetMu();
	while(t--){
		LL n,m;
		scanf("%lld %lld",&n,&m);
		if(n>m)swap(n,m);
		LL ans=0;
        Fi[1]=1;Fi[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        	Fi[i]=(Fi[i-1]+Fi[i-2])%mod;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        	ans=(ans+Fi[i]*Work(n/i,m/i)+mod)%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}