树概念及btree、b+tree

树概念

1、树的特性

1）一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通；
2）一棵树如果有n个结点，则它一定有n−1条边；
3）在一棵树中加一条边将会构成一个回路。

2、二叉树

1）二叉树是一种特殊的树，二叉树的特点是每个结点最多有两个儿子。
2）二叉树使用范围最广，一颗多叉树也可以转化为二叉树。

3、满二叉树

1）二叉树中每个内部节点都有两个儿子，满二叉树所有的叶节点都有相同的深度。
2）满二叉树是一棵深度为h且有2h−1个结点的二叉树。

4、完全二叉树

若设二叉树的高度为h，除了第h层外，其他层的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续 缺若干个结点，则为完全二叉树。

5、树的特点

1. 如果一棵完全二叉树的父节点编号为K,则其左儿子的编号是2K,右儿子的结点编号为2K+1
2. 已知完全二叉树的总节点数为n求叶子节点个数：
   　　当n为奇数时：（n+1）/2
   　　当n为偶数时 : （n）/2
3. 已知完全二叉树的总节点数为n求父节点个数：为：n/2
4. 已知完全二叉树的总节点数为n求叶子节点为2的父节点个数：
   　　当n为奇数时：n/2
   　　当n为偶数时 : n/2-1
5. 如果一棵完全二叉树有N个结点，那么这棵二叉树的深度为【log2（N+1）log2（N+1）】（向上取整）

B-tree 和 B+tree

• btree
  一棵m阶的B-Tree有如下特性：

1. 每个节点最多有m个孩子。
2. 除了根节点和叶子节点外，其它每个节点至少有Ceil(m/2)个孩子(Ceil返回大于或者等于指定表达式的最小整数)。
3. 若根节点不是叶子节点，则至少有2个孩子
4. 所有叶子节点都在同一层，且不包含其它关键字信息
5. 每个非终端节点包含n个关键字信息（P0,P1,…Pn, k1,…kn）
6. 关键字的个数n满足：ceil(m/2)-1 <= n <= m-1
7. ki(i=1,…n)为关键字，且关键字升序排序。
8. Pi(i=1,…n)为指向子树根节点的指针。P(i-1)指向的子树的所有节点关键字均小于ki，但都大于k(i-1)

以一个3阶的B-Tree举例：

1. 每个节点占用一个盘块的磁盘空间，一个节点上有两个升序排序的关键字和三个指向子树根节点的指针，指针存储的是子节点所在磁盘块的地址。
2. 两个关键词划分成的三个范围域对应三个指针指向的子树的数据的范围域。
3. 以根节点为例，关键字为17和35，P1指针指向的子树的数据范围为小于17，P2指针指向的子树的数据范围为17~35，P3指针指向的子树的数据范围为大于35。
   

'''模拟查找关键字29的过程：'''
根据根节点找到磁盘块1，读入内存。【磁盘I/O操作第1次】

比较关键字29在区间（17,35），找到磁盘块1的指针P2。

根据P2指针找到磁盘块3，读入内存。【磁盘I/O操作第2次】

比较关键字29在区间（26,30），找到磁盘块3的指针P2。

根据P2指针找到磁盘块8，读入内存。【磁盘I/O操作第3次】

在磁盘块8中的关键字列表中找到关键字29。

• b+tree

B+tree特点 ：

1. B+Tree是在B-Tree基础上的一种优化，使其更适合实现外存储索引结构，InnoDB存储引擎就是用B+Tree实现其索引结构。

2. 从上一节中的B-Tree结构图中可以看到每个节点中不仅包含数据的key值，还有data值。

3. 而每一个页的存储空间是有限的，如果data数据较大时将会导致每个节点（即一个页）能存储的key的数量很小

4. 当存储的数据量很大时同样会导致B-Tree的深度较大，增大查询时的磁盘I/O次数，进而影响查询效率。

5. 在B+Tree中，所有数据记录节点都是按照键值大小顺序存放在同一层的叶子节点上，而非叶子节点上只存储key值信息，这样可以大大加大每个节点存储的key值数量，降低B+Tree的高度。

btree和b+tree区别 ：
btree中每个节点都有数据，也就是包含key值和data值

b+tree中非叶子结点只存储key值，而真正的数据（data值）存储在最下层的磁盘块中

B+tree优点

1. InnoDB存储引擎中页的大小为16KB，一般表的主键类型为INT（占用4个字节）或BIGINT（占用8个字节），指针类型也一般为4或8个字节

2. 也就是说一个页（B+Tree中的一个节点）中大概存储16KB/(8B+8B)=1K个键值（这里的K取值为〖10〗^3）。

3. 也就是说一个深度为3的B+Tree索引可以维护10^3 * 10^3 * 10^3 = 10亿 条记录。

说明：

实际情况中每个节点可能不能填充满，因此在数据库中，B+Tree的高度一般都在2~4层。

mysql的InnoDB存储引擎在设计时是将根节点常驻内存的，也就是说查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘I/O操作。