算法设计与分析精要-优快云博客

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算法设计与分析（上）

算法复杂度整理
- O(f(n))的大小关系
- O(n)
公式整理
算法下界证明
- 决策树
典型算法实现
例题
- 递归方程的解法:

算法复杂度整理

O(f(n))的大小关系

$loglogn<logn<(logn)^2<\sqrt{n}<n<nlogn<n^{1+\epsilon}<n^2<n^3<2^{n-1}=2^n<e^n<n!<n^n$

O(n)

PK算法：名人问题，常见元素问题取k=2
单调栈：左边第一大问题，观景房问题
大小镜面算法：颠倒词序问题
极值保持算法：最大连续和子串
partition
merge

公式整理

平滑曲线： $\forall n, f(2n)\in\theta(f(n))$

不是平滑曲线的有: $2^n, n!$
相关定理：为方便证明复杂度，可设题给输入为 $2^n$ ,若结果为 $O (f (n))$ && $f (n)$ 为平滑曲线，那么结果正确，否则不能设输入规模为 $2^n$

数列相关公式

等比数列：
- $\sum_{i=1}^n aq^i=a(\frac{q^{n+1}-1}{q-1})$
- 在 $O (f (n))$ 的意义下，若 $q\gt1$ 则只取最后一项，若 $q\lt1$ 则只取第一项
$\sum_{i=1}^n i=$ $n(n+1)\over2$
$\sum_{i=1}^n i^2=$ $\Theta(\frac{1}{3}n^3)$
$\sum_{i=1}^n i^k=$ $\Theta(\frac{1}{k+1}n^{k+1})$
$\sum_{i=1}^n i*2^i=$ $n-1)2^{n+1}+2$
$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}=$ $lnn+\frac{1}{2n}\approx \Omicron(logn)$

渐进符号公式

$f(n)=\omicron (g(n))\;iff\;\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=0$
$f(n)=\Omicron (g(n))\;iff\;\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=c<\infty$
$f(n)=\Theta (g(n))\;iff\;\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=c\;(0<c<\infty)$
$f(n)=\Omega (g(n))\;iff\;\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=c\;(c>0)$
$f(n)=\omega (g(n))\;iff\;\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=\infty$

Master定理 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

若 $f(n)\in \Omicron (n^{log_{b}^a-\epsilon})，则T(n)=\Theta(n^{log_{b}^a})$
若 $f(n)\in \Omega (n^{log_{b}^a+\epsilon}),且f(n)平滑，则T(n)=\theta(f(n))$
若 $f(n)\in \Theta (n^{log_{b}^a+\epsilon}),则T(n)=\theta(n^{log_{b}^a}logn)$
巧计：大于大的，小于小的，相等乘以树高， $f (n)$ 对等比数列的影响不能太大，需要平滑

加强版Master定理：

适用于 $T(n)=\sum_{i}^k {a_{i}T(n/b_{i})}+f(n)$
此时 $n$ 的幂次 $p$ ,是方程 $\sum_{i}^k a_{i}b_{i}^{-p}=1$ 的解
其余的与MASTER定理一样

算法下界证明

决策树

典型算法实现

partition

以a[l]为pivot的经典版本

int partition(int *a, int l,int r)
{
    int key=a[l];
    int smallpos=l+1;
    int temp;
    for(int i=l+1;i<=r;i++)
        if(a[i]<key)
        	swap(a[i],a[smallpos++]);
    smallpos-=1;
    swap(a[smallpos],a[l]);
    return smallpos;
}

连续和子串

循环维持的是a1+a2+...+ak<0中的ak一定是第一次让字串小于0的k这个性质,由此可以推导出：
$a_{j+1}+a_{j+2}+...+a_{k}<0\rightarrow$
$a_{j+1}+a_{j+2}+...+a_{k}+a_{k+1}<a_{k+1}$ 恒成立

sum := 0;
max := a[0];
for i := 0 to n:
	sum += a[i];
	if( sum > max ):
		max := sum;
	else if(sum < 0):
		sum := 0;

MergeSort

将两个有序数组用 $\Omicron(n)$ 时间排成一个有序数组

void MergeSort(int l, int r) {
	if (l >= r)return;
	int mid = (l + r) / 2;
	merge(l, mid);
	merge(mid + 1, r);
	for (int i = l; i <= mid; i++)
		t[i] = a[i];
	for (int i = r, j = mid + 1; i >= mid + 1; i--, j++)
		t[j] = a[i];
	int current = l;
	while (l <= r)
	{
		if (t[l] <= t[r])
		{
			a[current++] = t[l];
			l++;
		}
		else
		{
			a[current++] = t[r];
			r--;
			ans += mid - l + 1;//是为了逆序对问题，可不加
		}
	}
}

例题

递归方程的解法:

解法一：猜证法
$T (n) = 2 (T (n / 2)) + n$
- guess that $T(n)\in O(nlogn)$
- then should prove : $\exist c,\forall n T(n) \leq cnlogn$
- $2(T(\frac {n}{2})) + n$
  $\leq2*(c \frac {n}{2} log\frac{n}{2})+n$
  $= c n l o g n - c n + n$
  $= c n l o g n + n (1 - c)$
  $\leq cnlogn\; (c\ge 1)$
$T(n)=T(\sqrt{n})+1$
- $\sqrt{x}\rightarrow2\;$ 需要 $l o g l o g x$ 次操作
- 然后列方程证即可