关于正定矩阵和非正定矩阵

最新推荐文章于 2025-10-02 10:51:17 发布
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整理在网上找的各种对这个概念的理解…

1.首先半正定矩阵定义为: X^TMX \geq 0

其中X 是向量，M 是变换矩阵

我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，MX代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做Y=MX。于是半正定矩阵可以写成：
X^TY \geq 0

这个是不是很熟悉呢？ 他是两个向量的内积。 同时我们也有公式：

cos(\theta) = \frac{X^TY}{||X||* ||Y||}

||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，\theta是他们之间的夹角。 于是半正定矩阵意味着cos(\theta)\geq 0, 这下明白了么？

正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

作者：cwaar

2.考虑矩阵的特征值。
若所有特征值均不小于零，则称为半正定。
若所有特征值均大于零，则称为正定。

作者：qfzklm

3.


【SPSS】解决问题：因子分析计算KMO提示不是正定矩阵
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线性模型出现非正定矩阵的问题解释
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矩阵正定：定义、判定、性质与应用详解
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正定矩阵通常针对实对称矩阵（复矩阵类似，需满足Hermite性）定义：设AAA为nnn阶实对称矩阵（即ATAA^T = AATA），若对任意非零实向量x\boxed{x}x​xTAx0x​TAx​0则称AAA为实正定矩阵（简称正定矩阵）。正定矩阵的核心是二次型严格正，其判定可通过“特征值全正”“顺序主子式全正”“存在可逆矩阵PPP使得APTPA = P^T PAPTP”等方法。
正定矩阵和半正定矩阵(矩阵正定的理解)
chen的博客
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在这两个示例中，矩阵A和矩阵B都是正定矩阵，因为它们满足所有判据，特征值均为正数，主子矩阵行列式为正数，并且Cholesky分解成功。：对于一个n×n的实对称矩阵A，使用 Sylvester 判据可以通过检查所有A的顺序主子矩阵的行列式是否都大于零来判断它是否正定。：对于一个二次型函数Q(x) = xᵀAx，你可以将任意非零向量x代入这个函数，如果得到的结果Q(x)始终大于零，则矩阵A是正定的。如果一个实对称矩阵A可以分解为LLᵀ，其中L是一个下三角矩阵，那么矩阵A是正定的。
正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵
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正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵   载▼     1.正定矩阵    一个n×n的实对称矩阵M是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz > 0。其中zT表示z的转置。 2.负定矩阵     与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵是负定矩阵当且仅当对所有不为零的（或），都有：
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原创：因子分析中相关系数矩阵为非正定矩阵的案例（含解决方案） - SPSS论坛 - 经管之家(原人大经济论坛)原创：因子分析中相关系数矩阵为非正定矩阵的案例（含解决方案）,在最近的工作中需要用spss做因子分析，但是在具体操作过程中遇到了头疼的“非正定矩阵的问题”，困扰了很久。看了论坛上很多网友的讨论和解决办法，加上自己的一些摸索，也最终找到了问题的原因和解决办法，现在写出来与大家分享，希望对有同样困扰的朋友一些启示，当然其中一定有不对的地方，欢迎大家一起讨论。一、案例介绍某运营商无线增值业务全国各省某一个
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晚上在用贝叶斯分析器处理数据时，冒出“Input X must be non-negative”这样的提示，意思是训练集的特征向量组成的矩阵必须是非负矩阵，这几天也刚好在看数值分析的内容，也探索到了在python上有数值分析的内容，主要是Numpy和SymPy。那么，就记下这个问题 数据和模块导入代码如下： import pandas as pd import numpy as np
如何判断正定矩阵和半正定矩阵
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### 正定矩阵与半正定矩阵的定义及判断方法 #### 定义 正定矩阵和半正定矩阵是线性代数中重要的特殊对称矩阵类别。具体来说： - **正定矩阵**是指一个大小为 \( n \times n \) 的实对称矩阵 \( A \)，对于任意长度为 \( n \) 的非零向量 \( x \)，都有 \( x^T A x > 0 \) 恒成立[^2]。 - **半正定矩阵**则是指类似的条件下，\( x^T A x \geq 0 \) 对于所有非零向量 \( x \) 成立[^4]。 这意味着，在正定矩阵的情况下，二次型始终严格大于零；而在半正定矩阵的情况下，允许存在某些向量使得二次型等于零。 #### 判断方法 以下是几种常见的用于判断矩阵是否为正定或半正定的方法： 1. **特征值法** 如果一个对称矩阵的所有特征值都为正，则该矩阵是正定的。如果所有特征值均是非负（可以为零），那么这个矩阵就是半正定的。 2. **主子行列式法** 对于一个 \( n \times n \) 阶的对称矩阵 \( A \)，可以通过检查它的顺序主子式的符号来决定其正定性： - 若所有的顺序主子式皆为正值，则矩阵为正定； - 若所有顺序主子式都不小于零，则矩阵为半正定[^3]。 3. **Cholesky 分解法** 只有当矩阵能够通过 Cholesky 分解表示成下三角矩阵与其转置相乘的形式时，此矩阵才是正定的。这种方法不仅提供了分解的可能性验证，还常被用来解决实际计算中的问题[^1]。 ```python import numpy as np def is_positive_definite(matrix): try: _ = np.linalg.cholesky(matrix) return True except np.linalg.LinAlgError: return False A = np.array([[2, -1], [-1, 2]]) print(is_positive_definite(A)) # 输出应为True ``` 上述代码片段展示了如何利用 Python 和 NumPy 库实现基于 Cholesky 分解的正定性检测函数。 #### 总结 正定矩阵和半正定矩阵的主要区别在于它们所对应的二次型取值范围的不同——前者仅限于严格的正区间，后者则扩展到了包括零在内的非负区域。这些特性决定了两者在线性规划、最优化等领域内的不同应用场景。
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