算法设计与分析第四章作业

7-2 程序存储问题：
设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。

贪心策略：

先根据程序长度进行排序，让占磁带长度短的程序先进入磁带，以实现相同磁带总长度下，进入磁带程序数的最大值。

反证法：

设{a1，a2，a3....an}为根据贪心算法得出的最优解，假设选择一个比a1长度更大的程序ax代替a1，此时更优解为{ax，a2，a3....an，an+1}，在更优解中第一个程序长度ax大于最优解中第一个程序长度a1，还多了一个an+1的程序长度，此时未超过磁带长度，那么最优解加上an+1的长度也一定不会超过磁带长度，那么最优解应该为{a1，a2，a3....an}， 与假设矛盾。因此最优解为{a1，a2，a3....an}。

时间复杂度：

排序的时间复杂度为O（nlogn），搜索程序的时间复杂度为O（n），故总的时间复杂度为O（nlogn）。

对贪心算法的理解：

贪心算法并不从整体最优上加以考虑，而是每次做出在当前看来是最好的选择，也就是某种意义上的局部最优选择。即针对当前情况，所以会出现当前最优而非整体最优的情况。相比于动态规划来说，贪心算法的思想更加直接简单，因此效率也更高。虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题都能产生整体最优解，如最小生成树问题、图的单源最短路径问题等。在这类情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好的近似解。