过凸多边形重心的任意直线能将图形面积等分？

 

过凸多边形重心的任意直线能将图形面积等分？

 

No!

 

  重心是物理学上的一个概念,凭感觉很容易认为能把面积等分的.

 

  实际上没有 经过uestc那场比赛才意识出来.

 

  很容易用正三角形举出一个反例

  设一正三角形ABC  正三角形重心即为3线合一线3等分点  设为O

  过O作与三角形底边平行线 分别交AB AC于E F

 显然ABC与AEF两三角形相似

 

 

 

  初中就知道了 这两个三角形面积之比为 2^2 : 3^2==4:9!=1:2

 

  所以过重心的直线不一定将凸多边形面积均分.

 

附:

重心的几条性质：

　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

       (正常情况求重心可以加权平均 积分亦可)

　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

 

参考资料:百度百科