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0.关于卡尔曼
卡尔曼，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954，1957年分别于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。于哥伦比亚大学获得博士学位。卡尔曼滤波器正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》。
卡尔曼滤波器是求解线性高斯系统状态估计的最优化自回归数据处理算法，其广泛应用在机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等。
1.卡尔曼滤波算法
卡尔曼算法可用于线性高斯系统的最优状态估计，线性高斯系统是指其系统方程是线性的，满足比例性和可加性，系统噪声服从高斯分布。
对于一个线性控制系统，我们可以得到系统状态变量的运动方程，及状态变量值的观测方程，使用如下方程表示，
{ x k = A k x k − 1 + B k μ k + ω k z k = H k x k + v k k = 1 , . . . , N \left\{\begin{matrix} x_k=A_kx_{k-1}+B_k\mu_k+\omega_k\\ z_k=H_kx_k+v_k \end{matrix}\right. \space k=1,...,N { xk=Akxk−1+Bkμk+ωkzk=Hkxk+vk k=1,...,N
- k k k表示的第 k k k时刻
- x k x_k xk表示的是 k k k时刻的系统状态量，根据运动方程来预测
- A A A是状态转移矩阵，从 k − 1 k-1 k−1时刻的 x k − 1 x_{k-1} xk−1到 k k k时刻的 x k x_k xk
- μ k \mu_k μk是 k k k时刻系统输入的控制变量
- B B B是从控制变量映射到状态变量的矩阵
- ω k ∼ N ( 0 , Q ) \omega_k\sim N(0, Q) ωk∼N(0,Q)表示的是状态的噪声，对于高斯系统，噪声服从正态分布
- Q Q Q是状态噪声的方差
- H H H是从状态变量到观测变量的映射矩阵
- v k ∼ N ( 0 , R ) v_k\sim N(0, R) vk∼N(0,R)表示的测量值，观测变量的噪声，对于高斯系统，噪声服从正态分布
- R R R是测量噪声的方差
对于实际中的控制系统，系统状态的值有三个，一个是系统运行的真实值，这个是没有办法获得的，因为无论是测量得到的观测值，还是根据状态转移方程即运动方程计算得到的预测值，都存在误差。最好的办法就是，能够根据预测值和测量值的可信度，自动的平衡取测量值和预测值中间的某个值作为系统状态的估计值。这正是卡尔曼滤波器发挥作用的地方。
直接给出卡尔曼滤波最关键的五个方程，
预测方程(运动方程)：
{ x k ∣ k − 1 = A k x k − 1 ∣ k − 1 + B k μ k P k ∣ k − 1 = A k P k − 1 ∣ k − 1 A + k T + Q k \left\{\begin{matrix} x_{k|k-1}=A_kx_{k-1|k-1}+B_k\mu_k\\ P_{k|k-1}=A_kP_{k-1|k-1}A+k^T+Q_k \end{matrix}\right. { xk∣k−1=A
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