幂取模算法

1. 普通的计算方式

先计算a ^b ，再取模，这样很容易益处，在实际中基本不可行，因为幂次很大可能会超过计算机的数值范围。

2. 同余公式

设c是a除以m的余，即c=a-k*m，也可用同余表达式a≡c (mod m)表示，则可以证明：

    2.1 同余性质1：

    对任意整数b

    ab≡bc (mod m) 

    证明：

        c=a mod m <=> a = km +c

        =>ab = k*b*m+bc => ab mod m = (k*b*m + bc)mod m = bc mod m

    (1)式等价于：ab mod m =b* (a mod m) mod m，这非常适合递归计算。

    2.2 同余性质2

    a≡c (mod m) => a²≡c² (mod m)--------------(2)

    证明:

        a=k*m+c =>a²=(km)²+2ckm+c² =>a² mod m =c² mod m，即（2）成立

3.Montgomery算法

对任意的整数b都可表示为：

• n表示b的实际二进制位
• b_i表示该位是0或1
• 因此，a^b可表示为：

根据同余性质一

根据同余性质（2）计算a的第i项的模

python代码

def mypow(a,n,m):
    result = 1
    base = a
    while n > 0:
        if n & 1==1:
            result = (result*base) % m
        base = (base*base) %m
        n >>=1
    return result

参考资料：http://blog.youkuaiyun.com/chen77716/article/details/7093600