26考研——查找_散列（Hash）表_散列表的基本概念 & 散列函数的构造方法 & 处理冲突的方法（7）

408答疑

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五、散列（Hash）表

散列表的基本概念

核心定义

• ​散列表（哈希表）：通过哈希函数直接对关键字进行映射访问的表。
• ​散列函数（哈希函数）​：将关键字映射到存储地址的函数，记为 $HashMap(key)=Addr$（地址可为数组下标、内存地址等）。
• ​冲突：不同关键字被映射到同一地址的现象（如 $ke{y}_1\ne ke{y}_2$ 但 $HashMap(ke{y}_1)=HashMap(ke{y}_2)$）。
• ​理想时间复杂度：查找操作的时间复杂度为 $O(1)$（与数据量无关）。

查找及性能分析

平均查找长度（ASL）

• ​定义：衡量散列表查找效率的核心指标，需分别计算搜索成功和失败的情况。
• ​冲突的影响：即使通过散列函数建立了直接映射，冲突仍导致查找过程需进行关键字比较。

搜索成功的平均搜索长度

• ​定义：找到表中已有元素所需的平均探查次数。
• ​计算方式：所有已有元素探查次数的平均值（例如：若表中元素探查次数分别为 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，则 $AS{L}_{成功}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{k}_i$）。

搜索失败的平均搜索长度

• ​定义：在表中未找到目标元素时，定位到插入位置所需的平均探查次数。
• ​计算方式：所有可能散列地址上插入新元素时探查空桶次数的平均值（需覆盖散列函数所有可能结果）。

查找效率影响因素

1. ​散列函数设计：应尽量减少冲突（如均匀分布关键字）。
2. ​冲突处理方法：包括开放定址法、链地址法等。
3. ​装载因子：定义为 $\alpha =\frac{\text{表中元素数}}{\text{散列表长度}}$，$\alpha$ 越大冲突概率越高。

散列表特性

• 关键字与存储地址的直接映射关系区别于线性表、树表（需逐次比较）。
• 实际应用中需权衡 $\alpha$ 值以平衡空间和时间效率。

散列函数的构造方法

• 在构造散列函数时，必须注意以下几点：

  1. 定义域和值域：散列函数的定义域必须包含全部关键字，而值域的范围则依赖于散列表的大小。

  2. 均匀分布：散列函数计算出的地址应尽可能均匀地分布在整个地址空间，尽可能地减少冲突。

  3. 计算效率：散列函数应尽量简单，能在较短的时间内计算出任意一个关键字对应的散列地址。

• 散列函数的目标：采用何种构造散列函数的方法取决于关键字集合的情况，但最终的目标都是尽量降低产生冲突的可能性。

直接定址法

• ​核心思想：直接取关键字的某个线性函数值为散列地址。
• ​散列函数：
  $H(key)=key$ 或 $H(key)=a\times key+b$（$a$ 和 $b$ 为常数）
• ​特点：
  • 计算简单且不会产生冲突。
  • 若关键字分布不连续，会导致存储空间浪费。
• ​适用场景：关键字分布基本连续的情况（如顺序编号的身份证号、学号）。

除留余数法

• ​核心思想：通过取模运算将关键字映射到散列地址。
• ​散列函数：
  $H(key)=key\mathrm{mod}p$ （$p$ 为不大于散列表长度 $m$ 且最接近 $m$ 的质数）
• ​特点：
  • 最简单、最常用的冲突控制方法。
  • $p$ 的选择直接影响冲突概率（需使映射结果均匀分布）。
• ​适用场景：表长可动态调整的开放定址法场景。

数字分析法

• ​核心思想：分析关键字各位分布规律，选取分布均匀的位作为散列地址。
• ​操作步骤：
  1. 将关键字转换为 $r$ 进制数（如十六进制）。
  2. 统计各数位上不同数码出现的频率。
  3. 选择分布最均匀的若干位组合成散列地址。
• ​特点：高度依赖具体关键字集合，更换关键字需重新设计函数。
• ​适用场景：已知关键字集合且分布规律可预先分析的场景（如固定格式的电话号码）。

平方取中法

• ​核心思想：取关键字平方值的中间几位作为散列地址。
• ​操作步骤：
  1. 计算关键字的平方值（如 $ke{y}^2$）。
  2. 根据散列表长度截取平方值的中间若干位（如取中间 4 位）。
• ​特点：
  • 散列地址与关键字的每一位相关，分布更均匀。
  • 需根据实际需求调整截取位数。
• ​适用场景：关键字各位取值不均匀或位数不足（如短字符串、小范围整数）。

方法对比与选择原则

方法	优势	局限性	典型应用场景
​直接定址法	无冲突、计算快	空间利用率低	连续分布的关键字
​除留余数法	灵活、适用性强	依赖质数选择	通用场景
​数字分析法	针对性强、效率高	需预先分析关键字分布	固定格式数据
​平方取中法	分布均匀、适应性强	计算复杂度略高	非均匀分布的关键字

处理冲突的方法

冲突的不可避免性

应该注意到，任何设计出来的散列函数都不可能绝对地避免冲突。为此，必须考虑在发生冲突时应该如何处理，即为产生冲突的关键字寻找下一个“空”的Hash地址。用 $H_i$ 表示处理冲突中第 $i$ 次探测得到的散列地址，假设得到的另一个散列地址 $H_1$ 仍然发生冲突，只得继续求下一个地址 $H_2$。以此类推，直到 $H_k$ 不发生冲突为止，则 $H_k$ 为关键字在表中的地址。

闭散列（开放定址法）

• 闭散列，也称为开放定址法，是指表中可存放新表项的空闲地址既向它的同义词表项开放，又向它的非同义词表项开放。其数学递推公式为：
  $$H_i=(H(key)+d_i)\%m$$
  式中，$H(\text{key})$ 为散列函数；$i=1,2,\dots ,k$（$k\le m-1$）；$m$ 表示散列表表长；$d_i$ 为增量序列。所有的数据都是在封闭空间内进行定位存储，不增加新的存储空间。
• 取定某一增量序列后，对应的处理方法就是确定的。通常有以下 4 种取法：

线性探测法

概述

线性探测法，又称线性探测再散列法。$d_i=1,2,\dots ,m-1$。它的特点是：冲突发生时，顺序查看表中下一个单元（探测到表尾地址 $m-1$ 时，下一个探测地址是表首地址 0），直到找出一个空闲单元（当表未填满时一定能找到一个空闲单元）或查遍全表。

特点

线性探测法可能使第 $i$ 个散列地址的同义词存入第 $i+1$ 个散列地址，这样本应存入第 $i+1$ 个散列地址的元素就争夺第 $i+2$ 个散列地址的元素的地址……从而造成大量元素在相邻的散列地址上聚集（或堆积）起来，大大降低了查找效率。

示例分析

线性探测法是当hash一个关键字时，发现没有冲突，就保存关键字，如果出现冲突，就探测冲突地址下一个地址，依次按照线性查找，直到发现有空地址为止，从而解决冲突。

• 关键词：37, 25, 14, 36, 49, 68, 57, 11
• 散列表：HT[12]，表的大小 $m=12$
• 散列函数：$\text{Hash}(x)=x\%11$

• 平均搜索长度（ASL）计算：
  $AS{L}_{succ}=\frac{1}{8}{\sum }_{i=1}^8{C}_i=\frac{1}{8}(1+1+3+4+3+1+7+1)=\frac{21}{8}$
  $AS{L}_{unsucc}=\frac{2+1+8+7+6+5+4+3+2+1+1}{11}=\frac{40}{11}$

平方探测法

概述

平方探测法，又称二次探测法。$d_i=1^2,-1^2,2^2,-2^2,\dots ,k^2,-k^2$，其中 $k\le m/2$，散列表长度 $m$ 必须是一个可以表示成 $4k+3$ 的素数。

特点

平方探测法是一种处理冲突的较好方法，可以避免出现“堆积”问题，它的缺点是不能探测到散列表上的所有单元，但至少能探测到一半单元。

示例分析

二次探测法指采用前后跳跃式探测的方法，发生冲突时，向后 $1^2$ 位探测，向前 $1^2$ 位探测，向后 $2^2$ 位探测，向前 $2^2$ 位探测……以跳跃式探测，避免堆积。

• 关键词：37, 25, 14, 36, 49, 68, 57, 11
• 散列表：HT[19]，表的大小 $m=19$
• 散列函数：$\text{Hash}(x)=x\%19$

• 平均搜索长度（ASL）计算：
  $AS{L}_{succ}=\frac{1}{8}(1+1+1+1+1+2+1+3)=\frac{11}{8}$
  $AS{L}_{unsucc}=\frac{1}{19}(2+1+1+1+1+1+2+1+1+1+3+4+2+1+2+1+1+3+4)=\frac{33}{19}$

双散列法

概述

双散列法。$d_i=i\times {\text{Hash}}_2(\text{key})$。需要使用两个散列函数，当通过第一个散列函数 $H(\text{key})$ 得到的地址发生冲突时，则利用第二个散列函数 ${\text{Hash}}_2(\text{key})$ 计算该关键字的地址增量。它的具体散列函数形式如下：
$$H_i=(H(key)+i\times Has{h}_2(key))\%m$$
初始探测位置 $H_0=H(\text{key})\%m$。$i$ 是冲突的次数，初始为 0。

示例分析

数据冲突时，解决冲突将使用第二个散列函数，因此得名双散列法。

• 关键词：22, 41, 53, 46, 30, 13, 01, 67
• 散列表：HT[11]，$m=11$
• 散列函数：$\text{Hash}(x)=(3x)\%11$
• 再散列函数：$\text{ReHash}(x)=(7x)\%10+1$

伪随机序列法

概述

伪随机序列法。$d_i=$ 伪随机数序列。

开放定址法对比

方法	核心机制	优点	缺点
​线性探测法	顺序线性探测	实现简单	同义词堆积严重
​平方探测法	平方偏移量跳跃探测	减少堆积	探测范围受限（50%空间）
​双散列法	双散列函数协同定位	冲突概率低	函数设计复杂度高
​伪随机序列法	伪随机数引导探测路径	分布均匀性佳	随机数质量依赖性强

注意事项

采用开放定址法时，不能随便物理删除表中已有元素，否则会截断其他同义词元素的查找路径。因此，要删除一个元素时，可以做一个删除标记，进行逻辑删除。但这样做的副作用是：执行多次删除后，表面上看起来散列表很满，实际上有许多位置未利用。

拉链法（链接法，Chaining）

开散列，也称为拉链法，是一种处理散列冲突的方法。当不同的关键字通过散列函数映射到同一地址时，为了避免非同义词发生冲突，可以将所有的同义词存储在一个线性链表中，这个线性链表由其散列地址唯一标识。

特点

• 散列地址为 $i$ 的同义词链表的头指针存放在散列表的第 $i$ 个单元中。
• 查找、插入和删除操作主要在同义词链中进行。
• 拉链法适用于经常进行插入和删除的情况。

示例分析

拉链法又叫链地址法，拉链法就是把具有相同散列地址的关键字（同义词）值放在同一个单链表中，简单来说拉链法就是数组加链表的组合结构。

• 关键词：37, 25, 14, 36, 49, 68, 57, 11
• 散列表：HT[11]，表的大小 $m=11$
• 散列函数：$\text{Hash}(x)=x\%11$

• 平均搜索长度（ASL）计算：
  $AS{L}_{succ}=\frac{1}{8}(1+1+2+1+2+3+1+1)=\frac{12}{8}=1.5$
  $AS{L}_{unsucc}=\frac{1}{11}(2+1+3+4+2+2+1+1+1+1+1)=\frac{19}{11}\approx 1.73$

六、参考资料

鲍鱼科技课件

b站免费王道课后题讲解:

网课全程班:

26王道考研书