408答疑
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三、数组和特殊矩阵
【注】
不建议背公式，会自己推导才有用！！！
1、数组的定义
数组的定义
数组是由 n ( n ⩾ 1 ) n (n \geqslant 1) n(n⩾1) 个相同类型的数据元素构成的有限序列，每个数据元素称为一个数组元素，每个元素在 n n n 个线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。
数组与线性表的关系
数组是线性表的推广。一维数组可视为一个线性表；二维数组可视为其元素是定长数组的线性表，以此类推。数组一旦被定义，其维数和维界就不再改变。因此，除结构的初始化和销毁外，数组只会有存取元素和修改元素的操作。
2、数组的存储结构
数组的存储结构
大多数计算机语言都提供了数组数据类型，逻辑意义上的数组可采用计算机语言中的数组数据类型进行存储，一个数组的所有元素在内存中占用一段连续的存储空间。
一维数组的存储结构关系式
以一维数组
A
[
0...
n
−
1
]
A[0...n-1]
A[0...n−1] 为例，其存储结构关系式为：
LOC
(
a
i
)
=
LOC
(
a
0
)
+
i
×
L
(
0
⩽
i
<
n
)
\text{LOC}(a_i) = \text{LOC}(a_0) + i \times L \quad (0 \leqslant i < n)
LOC(ai)=LOC(a0)+i×L(0⩽i<n)
其中，
L
L
L 是每个数组元素所占的存储单元。
二维数组的存储结构关系式
对于多维数组，有两种映射方法：按行优先和按列优先。
- 按行优先存储的基本思想是：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素。设二维数组的行下标与列下标的范围分别为
[
0
,
h
1
]
[0, h_1]
[0,h1] 与
[
0
,
h
2
]
[0, h_2]
[0,h2]，则存储结构关系式为：
LOC ( a i , j ) = LOC ( a 0 , 0 ) + [ i × ( h 2 + 1 ) + j ] × L \text{LOC}(a_{i,j}) = \text{LOC}(a_{0,0}) + [i \times (h_2 + 1) + j] \times L LOC(ai,j)=LOC(a0,0)+[i×(h2+1)+j]×L
- 按列优先存储时，得出存储结构关系式为：
LOC ( a i , j ) = LOC ( a 0 , 0 ) + [ j × ( h 1 + 1 ) + i ] × L \text{LOC}(a_{i,j}) = \text{LOC}(a_{0,0}) + [j \times (h_1 + 1) + i] \times L LOC(ai,j)=LOC(a0,0)+[j×(h1+1)+i]×L
二维数组转为一维数组
将二维数组的元素转换到一维数组进行存储，因此有一个映射关系。根据存储方式的不同，映射关系也不同。
- 行优先： a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j] 在一维数组的位置： Loc = Loc ( a [ 0 ] [ 0 ] ) + i × col + j \text{Loc} = \text{Loc}(a[0][0]) + i \times \text{col} + j Loc=Loc(a[0][0])+i×col+j，需要注意加的是元素个数，并非单个字节。
- 列优先： a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j] 在一维数组的位置： Loc = Loc ( a [ 0 ] [ 0 ] ) + j × row + i \text{Loc} = \text{Loc}(a[0][0]) + j \times \text{row} + i Loc=Loc(a[0][0])+j×row+i，需要注意加的是元素个数，并非单个字节。
3、特殊矩阵的压缩存储
基本概念
压缩存储
指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配空间。
对称矩阵
指具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布有一定规律性的矩阵。常见的特殊矩阵有对称矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等。
特殊矩阵的压缩存储方法
找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩存储到一个存储空间中。
对称矩阵
定义
若对一个 n n n 阶矩阵 A A A 中的任意一个元素 a i , j a_{i,j} ai,j 都有 a i , j = a j , i ( 1 ⩽ i , j ⩽ n ) a_{i,j} = a_{j,i} (1 \leqslant i, j \leqslant n) ai,j=aj,i(1⩽i,j⩽n)，则称其为对称矩阵。其中的元素可以划分为 3 个部分，即上三角区、主对角线和下三角区。
对称矩阵的压缩存储结构
对于 n n n 阶对称矩阵，上三角区的所有元素和下三角区的对应元素相同，若仍采用二维数组存放，则会浪费几乎一半的空间，为此将 n n n 阶对称矩阵 A A A 存放在一维数组 B [ n ( n + 1 ) / 2 ] B[n(n+1)/2] B[n(n+1)/2] 中，即元素 a i , j a_{i,j} ai,j 存放在 b k b_k bk 中。
对称矩阵的下标对应关系
在数组 B B B 中，位于元素 a i , j ( i ⩾ j ) a_{i,j} (i \geqslant j) ai,j(i⩾j) 前面的元素个数为：
- 第 1 行：1 个元素 ( a 1 , 1 ) (a_{1,1}) (a1,1)。
- 第 2 行：2 个元素 ( a 2 , 1 , a 2 , 2 ) (a_{2,1}, a_{2,2}) (a2,1,a2,2)。
- …
- 第 i − 1 i-1 i−1 行： i − 1 i-1 i−1 个元素 ( a i − 1 , 1 , a i − 1 , 2 , ⋯ , a i − 1 , j − 1 ) (a_{i-1,1}, a_{i-1,2}, \cdots, a_{i-1,j-1}) (ai−1,1,ai−1,2,⋯,ai−1,j−1)。
- 第 i i i 行： j − 1 j-1 j−1 个元素 ( a 1 , 1 , a 1 , 2 , ⋯ , a 1 , j − 1 ) (a_{1,1}, a_{1,2}, \cdots, a_{1,j-1}) (a1,1,a1,2,⋯,a1,j−1)。
因此，元素
a
i
j
a_{ij}
aij 在数组
B
B
B 中的下标
k
=
1
+
2
+
⋯
+
(
i
−
1
)
+
j
−
1
=
i
(
i
−
1
)
/
2
+
j
−
1
k = 1 + 2 + \cdots + (i-1) + j - 1 = i(i-1)/2 + j - 1
k=1+2+⋯+(i−1)+j−1=i(i−1)/2+j−1 （数组下标从 0 开始）。因此，元素下标之间的对应关系如下：
k
=
{
i
(
i
−
1
)
2
+
j
−
1
,
i
⩾
j
(
下三角区和主对角线元素
)
j
(
j
−
1
)
2
+
i
−
1
,
i
<
j
(
上三角区元素
a
i
,
j
=
a
j
,
j
)
k = \left\{ \begin{array}{l} \frac{i(i-1)}{2} + j - 1, \quad i \geqslant j (\text{下三角区和主对角线元素}) \\ \frac{j(j-1)}{2} + i - 1, \quad i < j (\text{上三角区元素} a_{i,j} = a_{j,j}) \end{array} \right.
k={2i(i−1)+j−1,i⩾j(下三角区和主对角线元素)2j(j−1)+i−1,i<j(上三角区元素ai,j=aj,j)
- 当数组下标从 1 开始时，可以采用同样的推导方法，请读者自行思考。
注意事项
二维数组 A [ n ] [ n ] A[n][n] A[n][n] 和 A [ 0... n − 1 ] [ 0... n − 1 ] A[0...n-1][0...n-1] A[0...n−1][0...n−1] 的写法是等价的。若数组写成 A [ 1... n ] [ 1... n ] A[1...n][1...n] A[1...n][1...n]，则表示指定了下标是从 1 开始的。二维数组元素写为 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]，注意数组元素下标 i i i 和 j j j 通常是从 0 开始的。矩阵元素通常写为 a i , j a_{i,j} ai,j，行号 i i i 和列号 j j j 通常是从 1 开始的。
三角矩阵
定义
三角矩阵是一种特殊的矩阵，其中只有对角线及其一侧的元素可能不为零。根据元素分布的不同，三角矩阵可以分为上三角矩阵和下三角矩阵。
上三角矩阵
上三角矩阵是指矩阵中，下三角区的所有元素均为同一常量。其存储思想与对称矩阵类似，不同之处在于存储完下三角区和主对角线上的元素之后，紧接着存储对角线上方的常量一次，所以可以将 n n n 阶上三角矩阵 A A A 压缩存储在一维数组 B [ n ( n + 1 ) / 2 + 1 ] B[n(n+1)/2+1] B[n(n+1)/2+1] 中。
- 上三角矩阵的压缩存储：元素下标之间的对应关系如下：
k = { ( i − 1 ) ( 2 n − i + 2 ) 2 + ( j − i ) , i ⩽ j ( 上三角区和主对角线元素 ) n ( n + 1 ) 2 , i > j ( 下三角区元素 ) k = \left\{ \begin{array}{l} \frac{(i-1)(2n-i+2)}{2} + (j-i), \quad i \leqslant j (\text{上三角区和主对角线元素}) \\ \frac{n(n+1)}{2}, \quad i > j (\text{下三角区元素}) \end{array} \right. k={2(i−1)(2n−i+2)+(j−i),i⩽j(上三角区和主对角线元素)2n(n+1),i>j(下三角区元素)
下三角矩阵
下三角矩阵是指矩阵中，上三角区的所有元素均为同一常量。其存储思想与对称矩阵类似，不同之处在于存储完下三角区和主对角线上的元素之后，紧接着存储对角线上方的常量一次，所以可以将 n n n 阶下三角矩阵 A A A 压缩存储在一维数组 B [ n ( n + 1 ) / 2 + 1 ] B[n(n+1)/2+1] B[n(n+1)/2+1] 中。
- 下三角矩阵的压缩存储：元素下标之间的对应关系如下：
k = { i ( i − 1 ) 2 + j − 1 , i ⩾ j ( 下三角区和主对角线元素 ) n ( n + 1 ) 2 , i < j ( 上三角区元素 ) k = \left\{ \begin{array}{l} \frac{i(i-1)}{2} + j - 1, \quad i \geqslant j (\text{下三角区和主对角线元素}) \\ \frac{n(n+1)}{2}, \quad i < j (\text{上三角区元素}) \end{array} \right. k={2i(i−1)+j−1,i⩾j(下三角区和主对角线元素)2n(n+1),i<j(上三角区元素)
注意事项
以上推导均假设数组的下标从 0 开始，若题设有具体要求，则应该灵活应对。
三对角矩阵
定义
三对角矩阵也称带状矩阵。对于 n n n 阶矩阵 A A A 中的任意一个元素 a i j a_{ij} aij，当 ∣ i − j ∣ > 1 |i-j| > 1 ∣i−j∣>1 时，若有 a i j = 0 ( 1 ⩽ i , j ⩽ n ) a_{ij} = 0 (1 \leqslant i, j \leqslant n) aij=0(1⩽i,j⩽n)，则称为三对角矩阵。在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域的元素都为零。
三对角矩阵的压缩存储
三对角矩阵 A A A 也可以采用压缩存储，将 3 条对角线上的元素按行优先方式存放在一维数组 B B B 中，且 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 存放于 B [ 0 ] B[0] B[0] 中。
三对角矩阵的下标对应关系
由此可以计算矩阵 A A A 中 3 条对角线上的元素 a i j ( 1 ⩽ i , j ⩽ n , ∣ i − j ∣ ⩽ 1 ) a_{ij} (1 \leqslant i, j \leqslant n, |i-j| \leqslant 1) aij(1⩽i,j⩽n,∣i−j∣⩽1) 在一维数组 B B B 中存放的下标为 k = 2 i + j − 3 k = 2i + j - 3 k=2i+j−3
反之，若已知三对角矩阵中的某个元素 a i j a_{ij} aij 存放在一维数组 B B B 的第 k k k 个位置，则有 i = ⌊ ( k + 1 ) 3 ⌋ + 1 i = \left\lfloor \frac{(k+1)}{3} \right\rfloor + 1 i=⌊3(k+1)⌋+1，$ j = k − 2 i + 3 j = k - 2i + 3 j=k−2i+3。例如：
- 当 k = 0 k = 0 k=0 时， i = ⌊ ( 0 + 1 ) 3 ⌋ + 1 = 1 i = \left\lfloor \frac{(0 + 1)}{3} \right\rfloor + 1 = 1 i=⌊3(0+1)⌋+1=1， j = 0 − 2 × 1 + 3 = 1 j = 0 - 2 \times 1 + 3 = 1 j=0−2×1+3=1，存放的是 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1；
- 当 k = 2 k = 2 k=2 时， i = ⌊ ( 2 + 1 ) 3 ⌋ = 2 i = \left\lfloor \frac{(2 + 1)}{3} \right\rfloor = 2 i=⌊3(2+1)⌋=2， j = 2 − 2 × 2 + 3 = 1 j = 2 - 2 \times 2 + 3 = 1 j=2−2×2+3=1，存放的是 a 2 , 1 a_{2,1} a2,1；
- 当 k = 4 k = 4 k=4 时， i = ⌊ ( 4 + 1 ) 3 ⌋ = 2 i = \left\lfloor \frac{(4 + 1)}{3} \right\rfloor = 2 i=⌊3(4+1)⌋=2， j = 4 − 2 × 2 + 3 = 3 j = 4 - 2 \times 2 + 3 = 3 j=4−2×2+3=3，存放的是 a 2 , 3 a_{2,3} a2,3。
以上推导均假设数组的下标从 0 开始，若题设有具体要求，则应该灵活应对。
4、稀疏矩阵
定义
矩阵中非零元素的个数 t t t，相对矩阵元素的个数 s s s 来说非常少，即 s ≫ t s \gg t s≫t 的矩阵称为稀疏矩阵。例如，一个矩阵的阶为 100 × 100 100 \times 100 100×100，该矩阵中只有少于 100 个非零元素。
存储稀疏矩阵需要保存的信息
若采用常规的方法存储稀疏矩阵，则相当浪费存储空间，因此仅存储非零元素。但通常非零元素的分布没有规律，所以仅存储非零元素的值是不够的，还要存储它所在的行和列。因此，将非零元素及其相应的行和列构成一个三元组（行标 i i i，列标 j j j，值 a i j a_{ij} aij）。然后按照某种规律存储这些三元组线性表。稀疏矩阵压缩存储后便失去了随机存取特性。
适合稀疏矩阵压缩存储的存储结构
稀疏矩阵的三元组表既可以采用数组存储，又可以采用十字链表存储。当存储稀疏矩阵时，不仅要保存三元组表，而且要保存稀疏矩阵的行数、列数和非零元素的个数。
数组存储
数组存储是一种常见的稀疏矩阵存储方式，适用于非零元素分布较为规则的情况。
十字链表法存储
十字链表法存储是一种更为灵活的稀疏矩阵存储方式，适用于非零元素分布不规则的情况。
四、参考资料
鲍鱼科技课件
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