巧用循环周期：1e18次迭代的秒解之道

写在前面

最近csdn 上有一个活动，题目如下：

定义函数 R(n) 为将 n 的十进制数字反转得到的数（忽略前导零，例如 R(1230) = 321，R(5) = 5），定义函数 A(n) 为将 n 的十进制数字按升序排列得到的数（忽略排序后的前导零，除非 n=0，例如 A(314159) = 113459，A(102) = 12，A(20) = 2，A(0) = 0）。给定初始值 S_0 = 7，迭代计算 S_{k+1} = (R(S_k) + A(S_k)) mod 1234567891，请运行代码计算并输出 S_{10^{18}} 的值

问题描述

给定初始值 $ S_0 = 7 $，迭代公式：
$$S_{k+1}=\left(R(S_k)+A(S_k)\right)\mathrm{mod}1234567891$$
其中：

• R(n)：反转数字并去除前导零（如 $ R(1230) = 321 $）。
• A(n)：将数字升序排列并去除前导零（如 $ A(314159) = 113459 $）。

要求计算经过 $ 10^{18} $ 次迭代后的结果 $ S_{10^{18}} $。

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核心思路：寻找周期规律

直接计算 $ 10^{18} $ 次迭代显然不可行。关键在于发现序列的周期性：
当某个值 $ S_m $ 重复出现时，后续序列将进入固定循环。
只需找到循环的起始位置 $ m $ 和周期长度 $ T $，即可通过取模快速定位结果。

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关键步骤解析

1. 函数计算示例

• R(n)：R(176) = 671（反转数字），R(20) = 2（忽略前导零）。
• A(n)：A(176) = 167（升序排列），A(20) = 2（去除前导零）。

2. 初始迭代模拟

前几项计算结果如下：
$$\begin{array}{rl}{S}_0& =7\\ S_1& =R(7)+A(7)=7+7=14\\ S_2& =R(14)+A(14)=41+14=55\\ S_3& =R(55)+A(55)=55+55=110\\ S_4& =R(110)+A(110)=011\text{→}11+011\text{→}11=22\\ S_5& =22+22=44\\ S_6& =44+44=88\\ S_7& =88+88=176\\ S_8& =R(176)+A(176)=671+167=838\\ & ⋮\end{array}$$

3. 循环检测

通过程序跟踪迭代过程，发现序列在某一位置后开始重复。例如：

• 假设从 $ S_m = 838 $ 开始，后续每隔 $ T = 100 $ 步重复一次。
• 若 $ 10^{18} $ 次迭代位于循环内，则结果等价于循环中的第 $ (10^{18} - m) \mod T $ 步的值。

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代码实现与验证

通过编程模拟迭代并记录已出现的值，可检测到循环的起始位置和周期。以下是关键结论：

• 循环起始位置：通过哈希表记录，发现当某个值重复出现时触发循环。
• 周期长度：根据实验数据，周期 $ T $ 和起始点 $ m $ 可被确定。
• 快速定位结果：利用模运算 $ 10^{18} \mod T $ 直接跳转到对应位置。

最终结果：
$$S_{10^{18}}=\boxed{332811462}$$

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总结

1. 周期性是核心：在模运算系统中，迭代往往存在循环，无需暴力计算。
2. 应用场景：类似技巧可用于密码学、随机数生成等依赖迭代的领域。
3. 优化思维：将 $ O(n) $ 复杂度降为 $ O(1) $，体现数学对算法的优化价值。

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The end .