扩展欧几里得算法概述

先说一下欧几里得算法是什么，就是小学学过的辗转相除法，用来求$gcd$的。大概是像这样的：

int gcd(int a,int b)  
{  
    if(b==0)  
      return a;  
    gcd(b,a%b);  
}  

然后我们在这段代码上加一些奇奇怪怪的东西，就变成扩展欧几里得了。顺便解释一下扩展欧几里得是什么，就是一种方法来求$ax+by=gcd(a,b)$,的特殊解的。相信大家想起来初中老师讲不定方程时的方法了吧。
没错，这就是扩欧。下面我们推一波公式：

假设我们已经求出了$bx_1+a\%b*y_1=gcd(b,a\%b)$,求$ax+by=gcd(a,b)$。

因为$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$bx_1+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*b)y_1=gcd(a,b)$

$ay_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*y_1)=gcd(a,b)$

根据上面的对应

$x=y_1;y=x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*y_1$

ps：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

而且我们知道了$ax+0*y=gcd(a,0)$的解，所以可以使用$exgcd$求出$ax+by=gcd(a,b)$的特殊解。
代码大概长这样：

int exgcd(int a,int b)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1;  
        y=0;  
        return y;  
    }  
    gcd(b,a%b);  
    int t=y;  
    y=x-a/b*y;  
    x=t;  
}  

然后扩展欧几里得有一个比较有用的东西，就是求逆元。$(a*b)\%mod=1$,则定义$a$与$b$互为逆元。现在我们知道$b$，$mod$，求$a$。
则$a*b=1+y*mod$
$a*b+y*mod=1$。
是不是和刚刚那个式子长得很像呀，是不是就可以用扩欧求了呀。
然后补充一波逆元的公式求法：
1、定义$f(i)$是$i$在模$mod$下的逆元。$f(i)=(-\lfloor \frac{mod}{i} \rfloor)*f(mod\%i)$
2、定义$f(i)$是$i!$在模$mod$下的逆元。$f(i)=f(i+1)*(i+1)\%mod$
然后就是注意取模！！！