Killer Names（HDU 6143）

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//题意：给克隆人取名字，每个人有名和姓（the first name and the last name），且名和姓里不能有重复的字，名和姓都有n个字，每个字只能在m种里面取。问最多可以取几个名字。

//思路：

推出的公式：

answer=C(1,m)*f(1)*(m-1)^n + C(2,m)*f(2)*(m-2)^n + C(3,m)*f(3)*(m-3)^n +......+C(x,m)*f(x)*(m-x)^n.

如果m<=n，x=m-1；如果m>n，x=n 。

f(x)表示n个长度的名字里，放且必须放x个字。

例：

— — —     放2个字（假设是1、2）

情况有：112、121、211、122、212、221 。（6种）

如果理解了f(x)的意思，那就来算f(x)的值：

易得：f(1)=1 。

那么f(2)怎么算？每个位置是不是只能在2种颜色里选，那么每个位置都有2种选择，就是2^n，但这里面包括了只有1种颜色的情况，所以要减掉C(1,2)*f(1)，因为有2中颜色，2^n里包含了只有每种颜色的情况，所以要乘C(1,2)，所以f(2)=2^n-C(1,2)*f(1) 。

同理：f(3)=3^n - ( C(1,3)*f(1)+C(2,3)*f(2) ) 。

=> f(x) = x^n - ( C(1,x)*f(1)+C(2,x)*f(2)+...+C(x-1,x)*f(x-1) ) 。

C(x,m)*f(x)*(m-x)^n ： answer里的这个通项解释：

C(x,m)表示从m个可选的字里面选x个，“名”里只能用也必须用到这x个，"名"里共有C(x,m)*f(x)种情况。那么“姓”里只能用(m-x)个字，可以用这些字中的一部分，也可以全部用到，因为这不可能跟“名”里重复，所以每个位置都有(m-x)种情况，所以共有(m-x)^n种情况。那么总的情况就是两者的乘积。

所以，把“名”中可用的字从1个遍历到x个即可。

PS：组合数C(x,y)是先打表预处理的，利用杨辉三角打表。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAX = 2000 + 100;

ll f[3000];
ll map[MAX][MAX];

//快速幂
ll fastm(ll a, ll b)
{
	ll ans = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			ans = ((ans%MOD)*(a%MOD)) % MOD;
		}
		b /= 2;
		a = ((a%MOD)*(a%MOD)) % MOD;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);

	//预处理组合数C，打表
	for (int i = 0; i < MAX; i++)
	{
		map[i][0] = 1;
		map[0][i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i < MAX; i++)
	{
		for (int j = 1; j < MAX; j++)
		{
			map[i][j] = (map[i - 1][j] + map[i][j - 1]) % MOD;
		}
	}

	while (T--)
	{
		ll n, m;
		scanf("%lld%lld", &n, &m);
		ll sum = 0;
		ll x = 1, y, z;

		//“名”里最多可用的字
		ll tt = min(n, m);
		if (tt == m)
			tt = m - 1;

		//算f(x)
		f[1] = 1;
		for (ll i = 2; i <= tt; i++)
		{
			f[i] = fastm(i, n);
			ll ans = 0;
			for (ll j = 1; j < i; j++)
			{
				ans = (ans + map[i - j][j] * f[j]) % MOD;
			}
			f[i] = (f[i] - ans + MOD) % MOD;
		}

		//“名”里可用的字从 1 遍历到 tt
		for (ll i = 1; i <= tt; i++)
		{
			x = f[i] % MOD;
			y = map[m - i][i] % MOD;
			z = fastm(m - i, n);
			sum = (sum + ((x*y) % MOD)*z%MOD) % MOD;
		}

		printf("%lld\n", sum%MOD);
	}
	return 0;
}