最短路径SPFA算法

–

前言

如果你对图论相关知识一点也没有，那么建议您先去了解这些知识：
讲解视频1
讲解视频2
画图工具

---

算法思想

队列优化，去掉一些无用的松弛操作，用队列来维护松弛造作的点。继承了Bellman-Ford算法的思想，但时间复杂度相对来说提高了很多。

与BFS的算法有一些类似，利用了STL队列。

---

时间复杂度

理想复杂度为O ( K M ) O(KM)O(KM)，这里的K KK可以看作一个常数

最坏为O ( N M ) O(NM)O(NM)但是一般情况下是跑不到这么多（除非出题人卡SPFA）

---

---

注意

虽然大多数情况spfa跑的比较快，但时间复杂度仍为（Onm），主要用应用于有负边权的情况（如果没有负边权，推荐使用 Dijkstra算法）。利用了邻接表建图，数据结构的基础一定要掌握好，而且该算法很容易超时，被卡，必须要谨慎选择该算法。

---

算法分析

1.用dis数组记录点到有向图的任意一点距离，初始化起点距离为0，其余点均为INF，起点入队。

2.判断该点是否存在。（未存在就入队，标记）

3.队首出队，并将该点标记为没有访问过，方便下次入队。

4.遍历以对首为起点的有向边（t,i）,如果dis[i]>dis[t]+w(t,i),则更新dis[i]。

5.如果i不在队列中，则入队标记，一直到循环为空。

---

---

例题（模板）

题目：求一个无向图的最短路径（dijkstra）

题目描述

一个含n个结点的无向图，以矩阵存储方式给出，请求出指定的两个点之间的最短距离。

输入输出格式

输入格式：

第一行，一个整数n（0 < n < 1000 ），表示无向图中结点的个数。
　　接下来是一个n*n的矩阵，表示无向图中各结点之间的联结情况，矩阵中的数值为小于等于1000的下整数，其中 0 表示两点之间无直接连接。
　　最后一行，两个整数i,j。表示求解i点到j点的最短距离。

输出格式：

一个数值，表示指定的两点之间最短距离。

输入输出样例

输入样例：

2
0 2
2 0
1 2

输出样例：

2

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,x,y,s,t,i,j,a[1100][1100],b[1100],c[1100];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%lld",&a[i][j]);
			if(!a[i][j])
				a[i][j]=10000;
		}
	scanf("%lld%lld",&x,&y);
	c[x]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		b[i]=a[x][i];
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		s=1;
		t=10000;
		for(j=1;j<=n;j++)
			if(!c[j]&&t>b[j])
			{
				s=j;
				t=b[j];
			}
		c[s]=1;
		for(j=1;j<=n;j++)
			if(!c[j]&&b[s]+a[s][j]<b[j])
				b[j]=b[s]+a[s][j];
	}
	printf("%lld",b[y]);
	return 0;
}

---

---

以上就是本文的内容，请在评论区提出您宝贵的意见，谢谢！