谈背包问题

背包问题主要分为两种，01背包和完全背包
01背包：就是一个背包里不能重复的放入一件物品
完全背包：放入背包的物品仅受当前背包的容量影响（可以重复放入物品）
01背包的一维函数内层循环是倒着的，不然会重复
完全背包的一维函数内层循环正序，正是利用了其重复来解决问题。
下面由两道例题来讲述：
1.采药问题：
题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式

第一行有222个整数T(1≤T≤1000)T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1≤M≤100)M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100)，用一个空格隔开，TTT代表总共能够用来采药的时间，MMM代表山洞里的草药的数目。
接下来的MMM行每行包括两个在111到100100100之间（包括111和100100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式

111个整数，表示在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
输入样例：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出：3
先来分析分析题目，可知对每种草药的都可以采取或是不采取，由此可知到第i种采药时的最大总价值便是max（上一步的最大值（未采取当前阶段的草药），上一步的最大值加上当前草药的价值（即采取了当前的草药）
没每种草药的采取时间为tim[i],价值为vau[i];
利用二维的方程求解顺序求解便是f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-tim[i]]+vau[i])
如下列草药：
序号 1 2 3
时间 6 7 4
价值：10,20,15
知道 f[1][j]=10,
但是在对f[2][j]进行求解时，知道在j<tim[2]的最大值一直都是之前的，所以需要补充当j<tim[i]时，f[i][j]=f[i-1][j];
二维正确的代码如下：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int tim[105]={0},vau[105]={0},f[105][1005]={0};
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>tim[i]>>vau[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=0;j<tim[i];j++)
			f[i][j]=f[i-1][j];
		for(int k=tim[i];k<=n;k++)
			f[i][k]=max(f[i-1][k],f[i-1][k-tim[i]]+vau[i]);//当前的最大值莫过于上一步的值以及上一步加上这儿一步的值
	}
	cout<<f[m][n];
	return 0;
}

这时候可能有人会感觉二维还是很大，但请放心，二维方程还是可以继续优化成一维的
一维的方程不用考虑药品的次序问题（即省略了i，通过覆盖来实现）
由二维的
—a-----b
---------c
变成一维的
------a----b
只需要不断更新b值即可（通过未更新前的a和b的值）
**f[j]=max(f[j],f[j-tim[i]]+vau[i]);**最大值便在当前b的值和更新后b的值中出现了。
但是一维的函数内层循环要倒着求（避免重复）
序号 1 2 3
时间 6 7 4
价值：10,20,15
下面来看看原因
假设总时间是10
最开始f[j]值：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
i=1,采摘第一种草药时
分f[10]=max(f[10],f[4]+10);
f[9]=max(f[9],f[3]+10);
f[8]=max(f[8],f2]+10);
f[7]=max(f[7],f[1]+10);
f[6]=max(f[6],f[0]+10);
当前f[j]值：0 0 0 0 0 10 10 10 10 10
i=2时
f[10]=max(f[10],f[3]+20);–20
f[9]=max(f[9],f[2]+20);–20
f[8]=max(f[8],f1]+20);–20
f[7]=max(f[7],f[0]+20);–20
当前f[j]值：0 0 0 0 0 10 20 20 20 20
i=3时
f[10]=max(f[10],f[6]+15);–25
f[9]=max(f[9],f[5]+15);–20
f[8]=max(f[8],f4]+15);–20
f[7]=max(f[7],f[3]+15);–20
f[6]=max(f[6],f[2]+15);–20
f[5]=max(f[5],f[1]+15);–20
f[4]=max(f[4],f[0]+15);–20
当前f[j]值：0 0 0 20 20 20 20 20 20 25
知选第二种药草的已经被压下去了
当前最大值便是f[10];
如果是正序求解呢？
看分析：
最开始f[j]值：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
i=1,采摘第一种草药时
分f[6]=max(f[6],f[0]+10);
f[7]=max(f[7],f[1]+10);
f[8]=max(f[8],f[2]+10);
f[9]=max(f[7],f[3]+10);
f[10]=max(f[6],f[4]+10);
当前值：0 0 0 0 0 10 10 10 10 10
i=2时
f[7]=max(f[7],f[0]+20);–20
f[8]=max(f[8],f1]+20);–20
f[9]=max(f[9],f[2]+20);–20
f[10]=max(f[10],f[3]+20);–20

当前f[j]值：0 0 0 0 0 10 20 20 20 20
i=3时
f[4]=max(f[4],f[0]+15);–15
f[5]=max(f[5],f[1]+15);–15
f[6]=max(f[6],f[2]+15);–15
f[7]=max(f[7],f[3]+15);–20
f[8]=max(f[8],f[4]+15);–30//发现了吗？此处f[4]在更新列表里，说明i=3时拿了此草药两次，因为f[4]已经被f[0]更新过，f[8]又已f[4]来更新，便是完全背包了
f[9]=max(f[9],f[5]+15);–30
f[10]=max(f[10],f[6]+15);–35
f[j]值就不写了
直接上正确代码：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int tim[105]={0},vau[105]={0},f[1005]={0};
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>tim[i]>>vau[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=n;j>=tim[i];j--)//内层循环需要倒着防止重复
			f[j]=max(f[j],f[j-tim[i]]+vau[i]);
	cout<<f[n];
	return 0;
}

下面便是完全背包了，和01背包大同小异
二维核心f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-tim[i]]+vau[i]);
一维代码如下：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int tim[10001]={0},vau[10001]={0},f[100001]={0};
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>tim[i]>>vau[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=tim[i];j<=n;j++)
			f[j]=max(f[j],f[j-tim[i]]+vau[i]);
	cout<<f[n];
}

就到这了，第一次打这么多字头有点晕，。