回文自动机：从入门到只会打板

写在前面

如果你会$SAM$，相信回文自动机不会难懂。

如果你不会，你可以参考我的上一篇文章。

至少回文自动机是治愈系的吧。

作用

回文自动机，也叫回文树，简称$PAM$实际上它既不是自动机也不是树

处理回文串的有力工具。可完全代替$Manacher$，就是会多个字符集。

算法流程

首先一个结论：往一个串末尾加入一个字符，最多会增加一个没出现过的回文串。

证明：

假设出现了两个之前没有出现的，它们都是当前串的后缀。

根据对称性，把短的关于长的的中心作对称，得到一个相同的回文串，说明已经出现过了。

矛盾，所以最多出现一个。

这么说，对于字符串$S$，本质不同的回文串最多有$|S|$个。

于是可以每个状态表示一个本质相同的回文串。用$le{n}_i$表示状态$i$表示的回文串的长度。

考虑到回文串两边一样的，定义转移$c$表示当前串左右各加上一个$c$

因为分奇回文和偶回文，所以定义两个初始节点$0,1$，其中$len[0]=0,len[1]=-1$（让$len[1]=-1$可以说是这个算法最妙的地方）

$0$表示偶回文，$1$表示奇回文。$-1$可以看做添加时吞掉一个字符。

类比$AC$自动机，定义$fail[i]$为这个回文串的最长非自己的回文后缀（以下简称回文真后缀）。

强行让$fail[0]=fail[1]=1$

实际上有个隐含条件：1的所有转移都到0

接下来同样考虑增量。

当我们插入$S[i]$时，现在我们知道$S[i-1]$的所有回文后缀，要求$S[i]$的回文后缀。

我们可以从前一个点跳$fail$，如果到某个点$p$刚好可以前后接上$S[i]$,即$S[i-len[p]-1]=S[i]$，说明有一个$p$到当前点的转移。

如果已经有转移了，说明这个回文串出现过，直接退出。

接下来维护$fail$。我们发现最长回文真后缀和它本身具有相同的性质。

在之前的基础上继续跳就可以了。如果跳到某个$p$有$S[i]$的转移，说明$ch[p][S[i]]$是个回文后缀，连过去就可以了。

栗子：$AABA$

插入$A$

此时$len[1]=-1$的优势就体现出来了，因为刚好是$S[i]=S[i]$

插入$A$,依次跳到$0,1$

插入$B$

插入$A$

实现

第一步插入的时候由于一些玄学问题，$p$的$fail$可能接到自己身上

解决策略是先把fail算出来，再接到之前的节点后面

剩下的就很容易了

代码有点古怪，仅供参考

char s[MAXN];
int n;
int ch[MAXN][26],fail[MAXN];
int len[MAXN];
int las=1,tot=1;
void init()
{
	len[1]=-1;
	fail[0]=fail[1]=1;
}
void insert(int i)
{
	int p=las;
	while (s[i-len[p]-1]!=s[i]) p=fail[p];
	if (ch[p][s[i]-'a']) return (void)(las=ch[p][s[i]-'a']);
	int q=fail[p];
	while (s[i-len[q]-1]!=s[i]) q=fail[q];
	las=++tot;
	fail[las]=ch[q][s[i]-'a'];	
	len[ch[p][s[i]-'a']=las]=len[p]+2;
}

运用

①每个点结尾的回文个数

即$fail$树的深度

②本质不同的回文个数

就是状态数

好像只有这些……

想到再补吧