杜教筛复杂度证明

我们实际上求的是这玩意

$$T(n)=\sqrt{n}+\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}(T(i)+T(\frac{n}{i}))$$

我们只需要考虑
$$T(n)=\sqrt{n}+\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}(\sqrt{i}+\sqrt{\frac{n}{i}})$$
对于之后的项，如

$$T(\sqrt{n})=n^{\frac{1}{4}}+\sum _{i=1}^{n^{\frac{1}{4}}}(\sqrt{i}+\sqrt{\frac{\sqrt{n}}{i}})$$
只有$O(n^{\frac{1}{4}})$,$\sqrt{n}$个加起来也就$O(n^{\frac{3}{4}})$

我们要求的实际上是

$$\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}(\sqrt{i}+\sqrt{\frac{n}{i}})$$

前者明显小于后者，可以忽略

$$\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{n}{i}}$$

当积分算

$${\int }_0^{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{n}{x}}$$

为了方便后面叙述，我们设一个通式，即

$$S(m)={\int }_0^m\sqrt{\frac{n}{x}}$$

设$$g(x)=\sqrt{\frac{n}{x}}$$

运用你丰富的数学知识，得到原函数

$$f(x)=\sqrt{nx}$$

所以所求为

$$S(\sqrt{n})=f(\sqrt{n})=n^{\frac{3}{4}}$$

如果我们预处理出前$k$个(假装$k>\sqrt{n}$)，复杂度为

$$\sum _{i=1}^{\frac{n}{k}}\sqrt{\frac{n}{i}}=S(\frac{n}{k})$$

代入上面的结论

$$S(\frac{n}{k})=f(\frac{n}{k})=\frac{n}{\sqrt{k}}$$

加上预处理后总复杂度$O(k+\frac{n}{\sqrt{k}})$

当$k=n^{\frac{2}{3}}$时有理论最优复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$