[杜教筛] BZOJ4176. Lucas的数论

最新推荐文章于 2019-07-04 22:58:56 发布

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分类专栏：杜教筛

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本文介绍了一个特定的数论问题及其通过反演公式进行转换的方法，并给出了使用杜教筛思想优化求解的C++代码实现。讨论了双层求和问题的简化与复杂度分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

陈老师R老师等式

\sum i = 1 n \sum j = 1 n f (i j) = \sum i = 1 n \sum j = 1 n ⌊ n i ⌋ ⌊ n j ⌋ [(i, j) = 1]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(ij)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\lfloor{n\over i}\rfloor\lfloor{n\over j}\rfloor[(i,j)=1]$

反演一下就变成

\sum i = 1 n μ (i) (\sum d = 1 ⌊ n i ⌋ ⌊ n i d ⌋) 2

$\sum_{i=1}^n\mu(i)\biggl(\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over i}\rfloor} \lfloor{n\over id}\rfloor\biggr)^2$

后面的东西也分块求，复杂度证明跟杜教筛复杂度证明差不多

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

const int N=10000010,P=1000000007;

int p[N],mu[N];

map<int,int> S;

inline int g(int n){
  int ret=0;
  for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ret=(ret+1LL*(j-i+1)*(n/i))%P;
  }
  return 1LL*ret*ret%P;
}

int Sum(int n){
  if(n<=1000000) return mu[n];
  if(S.count(n)) return S[n];
  int ret=1;
  for(int i=2,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ret=(ret-1LL*(j-i+1)*Sum(n/i))%P;
  }
  return S[n]=ret;
}

int n;

inline void Pre(){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=1000000 && i<=n;i++){
    if(!p[i]) p[++*p]=i,mu[i]=-1;
    for(int j=1;j<=*p && 1LL*i*p[j]<=1000000 && 1LL*i*p[j]<=n;j++){
      p[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
      else break;
    }
  }
  for(int i=1;i<=1000000 && i<=n;i++)
    mu[i]=(mu[i]+mu[i-1])%P;
}

int main(){
  int ans=0; scanf("%d",&n); Pre();
  for(int i=1,j,lst=0;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i); int cur=Sum(j);
    ans=(ans+1LL*(cur-lst)*g(n/i))%P;
    lst=cur;
  }
  printf("%d\n",(ans+P)%P);
  return 0;
}