Karatsuba-Ofman乘法器

Karatsuba-Ofman乘法器是俄罗斯人Karatsuba于1962年提出的，主要思想是采用分治算法计算整数乘法，将计算复杂度向前推进到$O(n^{lo{g}_{2}3})$，而此前普遍认为整数乘法的计算复杂度是$O(n^2)$。
来看一个例子：假设$n=2l$，$x=x_1{2}^l+x_0$，$y=y_1{2}^l+y_0$是$2l$-位整数，于是：
$xy=(x_1{2}^l+x_0)(y_1{2}^l+y_0)$
$=x_1\cdot y_1{2}^{2l}+[(x_0+x_1)\cdot (y_0+y_1)-x_1{y}_1-x_0\cdot y_0]2^l+x_0{y}_0$
$xy$可以通过3个$l$-位的整数乘法（而不是$2l$-位的整数乘法）和2个乘法，2个减法算式计算出来。
若$l$数值较大，加法和减法相对乘法的计算代价可以忽略。在经典算例中，程序可以反复迭代到中位数，并一直执行到满足阈值（可能的值是机器字长度）的条件才停止。
对于大小适中的整数，Karatsuba算法的执行上限是需要考虑的因素。不同于传统方法，Karatsuba算法的执行尽可能减少移位请求（对于$2^l$和$2^{2l}$乘法），并且高效使用面向字节的操作。例如：采用拆分字节的边界的方法有可能更好，一个指定阶段的分裂可以拆分成2个以上片段。
例1（Karatsuba-Ofman方法）：考虑224-位整数$x$和$y$的乘法，运算设备的字节长度为$W=32$。2个深度为2的方法展现如下图所示，显然，图a的裂项从数学上看可能更为优雅并且在代码上更具备重用性。然而，却需要更多的移位操作，这是因为裂变并非以字长单位为边界进行。如果56-位数的乘法的代价近似于64-位数乘法，显然裂项对于硬件容量利用不足，这是因为如图b所示，9个64位乘法与1个32位、8个64位乘法的代价完全不同。另外，图b的列项建立在字长单位为边界的基础上，由于存在加法移位，具有更多的复杂的跨项计算。例如，深度为2的跨项具有形式

上图展示了224-位的整数分裂成深度为2的二叉树。图a所示的$xy$乘积包括采用3个$112\ast 112$位乘法，每个执行又采用3个5656位的乘法。b图所示的xy包括采用一个9696位乘法(列项为一个3232位和2个6464位乘法)和2个128128位的乘法（每个产生3个$64\ast 64$位乘法）。
如下：
$(x_0+x_1)(y_0+y_1)-x_1{y}_1-x_0{y}_0$
其中，$x_0+x_1$和$y_0+y_1$在图a为57-位数，在图b为65-位数。虽然$(x_0+x_1)(y_0+y_1)$可以被1个6464位乘法和2个加法计算出来，图b列项的代价仍然有点大。

上图展现了192-位整数的深度为2的裂项。图a的乘法$xy$具有3个$96\ast 96$的乘法，每个乘法执行1个$32\ast 32$和2个$64\ast 64$的乘法（每个乘法需要3个32*32位乘法），总共需要21个$32\ast 32$位乘法。图b或图c，仅需要18个$32\ast 32$位乘法就可以完成计算。
例2（192位数乘法）：考虑Karatsuba-Ofman算法应用于192-位整数乘法的例子，假设设备字长$W=32$。按上图所示的3个深度位2的方法，图a需要21个$32\ast 32$位乘法，图b和图c只需要18个。主要的思路是$3l$-位整数$x=x_2{2}^{2}l+x_1{2}^l+x_0$和$y=y_2{2}^{2l}+y_1{2}^l+y_0$能够计算如下：
有限域的乘法性能在椭圆曲线机制中是非常重要的。囿于硬件乘法器和传播成本的限制，执行以上算法势必会引起明显的瓶颈。