从放苹果问题到零钱兑换问题（动态规划）

放苹果问题

题目描述

把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

数据范围：0<=m<=10，1<=n<=10。

输入描述:输入两个int整数

输出描述:输出结果，int型

示例1

输入：7 3

输出：8

举例： 

 总结：

1. m=0，没有苹果，所有盘子空着，一种放法，即f(0,n) = 1;
2. n=0，没有盘子，没办法放，即f(m,0) = 0;
3. m=1，一个苹果，只有一种放法，即f(1,n) = 1;
4. n=1，一个盘子，只有一种放法，即f(m,1) = 1；
5. m<n，盘子比苹果多，多余的盘子不起作用，即f(m,n)=f(m,m);
6. 每次放苹果都有两种放法可以选择，总的放法等于二者之和：f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

 递归解法

//递归写法
int f(int m, int n){
    if(m <0 || n < 0){
        return 0;
    }
    if(n == 0) return 0;
    if(m == 0) return 1;
    if(m == 1 || n == 1) return 1;
    return f(m-n,n) + f(m,n-1);
}

动态规划

根据已知条件可写出状态方程：

• f(0,n) = 1;
• f(m,0) = 0;
• f(1,n) = 1;
• f(m,1) = 1；
• f(m,n)=f(m,m)，m<n
• f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

 //动态规划
        int dp[11][11]= {0};
        //初始化
        for(int i=0; i<=m; ++i){
            for(int j=0; j<=n; ++j){
                if(i==1 || j ==1 || i==0){
                    dp[i][j] = 1;
                }else if(i-j <0){
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];
                }
                
            }
        }
        cout<<dp[m][n]<<endl;

零钱兑换

题目描述

想兑换100元钱，有1,2,5,10四种钱，问总共有多少兑换方法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int moneys = 100;
int coins[] = { 1,2,5,10 };

//m 是剩余的钱，n 是剩余可选择的面值
int getExchageTimes(int m, int n) {
	//钱为0的情况
	if (m == 0) return 1;
	//不能兑换的情况
	if (m < 0 || n <= 0) return 0;

	//选择当前面值+不选择当前面值
	return getExchageTimes(m - coins[n - 1], n) + getExchageTimes(m, n - 1);
}
const int N = 100;
int arr[N + 1] = { 1 };
int coinExchange(int n)   //非递归实现
{
	int i, j;
	//i从0 ~ 3     因为每个arr[j]都要有一次是假设兑换了coins[i]，所以我们要遍历一次
	for (i = 0; i < 4; i++)
	{
		for (j = coins[i]; j <= n; j++)
			//求，arr[j]的时候，可以看出arr[j] = arr[j] + arr[j-coins[i]]，
			//对应着上面的递归方式：arr[j]就是getExchageTimes(n, m-1)，
			//arr[j-dimes[i]]就是getExchageTimes(n-coins[m-1], m)
			arr[j] = arr[j] + arr[j - coins[i]];

	}
	return arr[n];
}

int main(void) {
	int a[6] = { 1,2,3 };
	//递归
	cout << getExchageTimes(moneys,4) << endl;

	//动态规划
	cout << coinExchange(1) << endl;

	return 0;
}

 参考文章：

动态规划--换零钱