C++堆排序的原理及实现

首先回顾下堆的数据结构的特点：

堆的描述

堆是一颗二叉树，这样的二叉树是局部有序的，任何节点与其兄弟节点之间都没有必然的顺序联系，但是它与父子节点之间有大小顺序关系，按照关系的不同，分为最大值堆和最小值堆：

• 最大值堆：子节点比父节点小的堆，根节点是树中最大的节点。
• 最小值堆：子节点比父节点大的堆，根节点是树中最小的节点。

堆是左平衡的树，所以随着节点的增加，树会逐级从左至右增长。因此对于一个堆来说，一个比较好的表示左平衡二叉树的方式是：

将节点通过水平遍历的方式连续存储到一个数组中。假设有一个零索引数组，这表示数组中处于位置i处的节点，其父节点位于（i-1）/2处，计算时忽略小数部分。其左节点和右节点分别位于2i+1和2i+2处。这样的组织结构对于堆来说非常重要，因为通过它我们能够迅速定位堆的最后一个节点：最后一个节点位于树中最深层的最右端。

在数组中，父子节点下标的关系为：

• root= (left-1)/2=  (right-1)/2
• left = 2*root+1
• right=2*root+2

比如值为19的节点的左右节点为9和18，它们在数组中的下标为2*4+1=9,2*4+2=10。

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

在堆排序中，要排序的数据首先存储在一个堆中。从堆中一次取出一个节点，放置到有序数据集的尾部。当取出每个节点时，它的下一个节点就会浮现到堆的顶部。堆排序和快速排序有相同的时间复杂度，但在实际中，快速排序往往比堆排序复杂度略低，两者相差一个常量因子。

 排序完成后：变成一个最小值堆，此时，堆数组是升序排列的

算法步骤

具体的图解算法参考：图解排序算法(三)之堆排序 

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

堆排序的基本思路：

　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

#include <iostream>
#include<vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

//在start 和end区间内，如果父节点小于子节点，就交换
void max_heapify(int arr[], int start, int end)
{
	//建立父节点指标和子节点指标
	int dad = start;
	int son = dad * 2 + 1;//左子节点
	while (son <= end)  //若子节点指标在范围内才做比较
	{
		if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) //先比较两个子节点大小，选择最大的
			son++;
		if (arr[dad] > arr[son]) //如果父节点大于子节点代表调整完毕，直接跳出函数
			return;
		else  //否则交换父子内容再继续子节点和孙节点比较
		{
			swap(arr[dad], arr[son]);
			dad = son;
			son = dad * 2 + 1;
		}
	}
}

void heap_sort(int arr[], int len)
{
	//初始化，i从最后一个父节点开始调整
	//堆数组的前一半为父节点，后一半为子节点
	for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
		max_heapify(arr, i, len - 1);
	//先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再从新调整(刚调整的元素之前的元素)，直到排序完毕
	for (int i = len - 1; i > 0; i--)
	{
		swap(arr[0], arr[i]);
		max_heapify(arr, 0, i - 1);
	}
}

int main(void)
{
	int arr[] = { 3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6 };
	int len = (int) sizeof(arr) / sizeof(*arr);
	heap_sort(arr, len);
	for (int i = 0; i < len; i++)
		cout << arr[i] << ' ';
	cout << endl;
	return 0;
}