1089. Farey Sequence (欧拉函数+筛法)-优快云博客

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若n是质数p的k次幂， $φ(n) = φ(p k) = p k - p k - 1 = (p - 1) p k - 1$ ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质， $φ(mn) = φ(m)φ(n)$ 。

若 $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$

则 $\varphi(n) = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ 。

例如 $\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)=2^2\times1\times3\times2=24$

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

bool pr[1000002];
int prime[80000];
long long result[1000002];

void p()
{
	memset(pr,0,sizeof(pr));
	int k=0;
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
		for(int j=2;j*i<=1000000;j++)
			pr[i*j]=1;
	prime[0]=1;
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
		if(pr[i]==0)
			prime[prime[0]++]=i;
}

int eular(int n)
{
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=prime[0]&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
	{
		if(n%prime[i]==0)
		{
			n/=prime[i];
			ans*=(prime[i]-1);
			while(n%prime[i]==0)
			{
				ans*=prime[i];
				n/=prime[i];
			}
		}
	}
	if(n>1)
		ans*=(n-1);
	return ans;
}

int main()
{
	p();
	int n;
	result[1]=result[2]=1;
	for(int i=3;i<=1000000;i++)
		result[i]=result[i-1]+eular(i);
	while(cin>>n&&n)
		cout<<result[n]<<endl;
	return 0;
}