《视觉SLAM十四讲》学习笔记-四元数旋转后的点实部为0的证明

最新推荐文章于 2024-02-11 13:20:51 发布

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本文详细介绍了四元数的基本概念及其在三维空间中表示旋转的应用。通过数学公式展示了四元数的运算规则、共轭、模长等特性，并推导了如何使用四元数进行点的旋转。

证明的过程会比较繁琐。

首先看定义。假设两个四元数：

q ⃗ a = [s a, v ⃗ a] = s a + x a i + y a j + z a k

$\vec{q}_a=[s_a, \vec{v}_a] = s_a + x_ai+y_aj+z_ak$

q ⃗ b = [s b, v ⃗ b] = s b + x b i + y b j + z b k

$\vec{q}_b=[s_b, \vec{v}_b] = s_b + x_bi+y_bj+z_bk$

乘法定义为：

q ⃗ a q ⃗ b = [s a s b - v ⃗ ⊤ a v ⃗ b, s a v ⃗ b + s b v ⃗ b + v ⃗ a \times v ⃗ b]

$\vec{q}_a\vec{q}_b=[s_as_b-\vec{v}_a^\top \vec{v}_b, s_a\vec{v}_b + s_b\vec{v}_b + \vec{v}_a \times \vec{v}_b]$
其中，

×× $\times$ 符号表示向量外积。

共轭：

q ⃗ * a = [s a, - v ⃗ a] = s a - (x a i + y a j + z a k)

$\vec{q}_a^*=[s_a, -\vec{v}_a] = s_a - (x_ai + y_aj + z_ak)$

则：

q ⃗ a q ⃗ * a = [s a s b - v ⃗ ⊤ a (- v ⃗ a), s a (- v ⃗ a) + s a v ⃗ a + v ⃗ a \times (- v ⃗ a)] = [s 2 a + v ⃗ ⊤ a v ⃗ a, 0 ⃗]

$\begin{aligned} \vec{q}_a\vec{q}_a^* &=[s_as_b - \vec{v}_a^\top(-\vec{v}_a), s_a(-\vec{v}_a) + s_a\vec{v}_a + \vec{v}_a \times (-\vec{v}_a)]\\ &=[s_a^2+\vec{v}_a^\top\vec{v}_a, \vec{0}] \end{aligned}$

这是因为：

v ⃗ a \times (- v ⃗ a) = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ i x a - x a j y a - y a k z a - z a ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = [y a (- z a) - z a (- y a)] i + [x a (- z a) - z a (- x a)] (- j) + [x a (- y a) - y a (- x a)] k = 0 * i + 0 * j + 0 * k = 0

$\begin{aligned} \vec{v}_a \times (-\vec{v}_a) &= \begin{bmatrix} i & j &k \\ x_a & y_a & z_a\\ -x_a & -y_a & -z_a \end{bmatrix} \\ &=[y_a (-z_a)-z_a(-y_a)]i + [x_a(-z_a) - z_a(-x_a)](-j) + [x_a(-y_a)-y_a(-x_a)]k \\ &=0*i + 0*j + 0*k = 0 \end{aligned}$

模长：

‖ q ⃗ a ‖ = s 2 a + x 2 a + y 2 a + z 2 a ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt

$\|\vec{q}_a\|=\sqrt{s_a^2 + x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}$

逆：

q ⃗ - 1 = q ⃗ * / ‖ q ⃗ ‖ 2

$\vec{q}^{-1} = \vec{q}^*/\|\vec{q}\|^2$

计算 $\vec{q}\vec{q}^{-1}$ ：

q ⃗ q ⃗ - 1 = q ⃗ q ⃗ * / ‖ q ⃗ ‖ 2 = q ⃗ q ⃗ * ‖ q ⃗ ‖ 2 = [ s a , a ⃗ ] [ s a , - a ⃗ ] ‖ q ⃗ ‖ 2 = [s a s a - v ⃗ ⊤ a (- v ⃗ a), - s a v ⃗ a + s a v ⃗ a + v ⃗ a \times (- v ⃗ a)] = s a s a + v ⃗ ⊤ a v ⃗ a s 2 a + x 2 a + y 2 a + z 2 a = 1

$\begin{aligned} \vec{q}\vec{q}^{-1} &=\vec{q} \vec{q}^*/\|\vec{q}\|^2\\ &=\frac{\vec{q}\vec{q}^*}{\|\vec{q}\|^2}\\ &= \frac{[s_a, \vec{a}][s_a, -\vec{a}]}{\|\vec{q}\|^2}\\ &= [s_as_a-\vec{v}_a^\top(-\vec{v}_a), -s_a\vec{v}_a + s_a\vec{v}_a + \vec{v}_a\times (-\vec{v}_a)]\\ &= \frac{s_as_a + \vec{v}_a^\top\vec{v}_a}{s_a^2+x_a^2+y_a^2+z_a^2}\\ &=1 \end{aligned}$

假设点坐标为 $\vec{p}=[0, x, y, z]=[0, \vec{v}]$ ( $[x, y, z]\in \mathbb{R}^3$ ), 旋转轴及角度为 $\vec{n},\theta$ ,其中 $\vec{n}=[n_x, n_y, n_z]$

旋转用四元数表示为 $\vec{q}=[\cos\frac{\theta}{2}, \vec{n}\sin\frac{\theta}{2}]$ .
由上述定义，可知：

q ⃗ - 1 = q ⃗ * / ‖ q ⃗ ‖ 2 q ⃗ * = [cos θ 2, - n ⃗ sin θ 2] ‖ q ⃗ ‖ 2 = cos 2 θ 2 + sin 2 θ 2 (n 2 x + n 2 y + n 2 z) = 1

$\begin{aligned} \vec{q}^{-1}=\vec{q}^*/\|\vec{q}\|^2\\ \vec{q}^* = [\cos\frac{\theta}{2}, -\vec{n}\sin\frac{\theta}{2}]\\ \|\vec{q}\|^2 = \cos^2\frac{\theta}{2} + \sin^2\frac{\theta}{2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)=1 \end{aligned}$

旋转后的点 $\vec{p}'$ 可计算为：

p ⃗' = q ⃗ p ⃗ q ⃗ - 1 = [cos θ 2, n ⃗ sin θ 2] [0, v ⃗] q ⃗ - 1 = [- sin θ 2 n ⃗ ⊤ v ⃗, cos θ 2 v ⃗ + sin θ 2 n ⃗ \times v ⃗] [cos θ 2, - n ⃗ sin θ 2] = [- sin θ 2 cos θ 2 n ⃗ ⊤ v ⃗ + [cos θ 2 n ⃗ \times v ⃗] ⊤ n ⃗ sin θ 2, \dots] = [- sin θ 2 cos θ 2 n ⃗ ⊤ v ⃗ + sin θ 2 cos θ 2 v ⃗ ⊤ n ⃗ + (sin θ 2) 2 (n ⃗ \times v ⃗) ⊤ n ⃗, \dots] = [(sin θ 2) 2 (n ⃗ \times v ⃗) ⊤ n ⃗, \dots]

$\begin{aligned} \vec{p}' &= \vec{q}\vec{p}\vec{q}^{-1}\\ &= [\cos\frac{\theta}{2}, \vec{n}\sin\frac{\theta}{2}] [0, \vec{v}] \vec{q}^{-1}\\ &= [-\sin \frac{\theta}{2}\vec{n}^\top\vec{v}, \cos\frac{\theta}{2}\vec{v} + \sin \frac{\theta}{2} \vec{n}\times \vec{v}] [\cos\frac{\theta}{2}, -\vec{n}\sin \frac{\theta}{2}]\\ &= [-\sin \frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\vec{n}^\top\vec{v} + [\cos \frac{\theta}{2}\vec{n}\times \vec{v}]^\top \vec{n}\sin \frac{\theta}{2}, \cdots]\\ &=[-\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2}\vec{n}^\top \vec{v} + \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\vec{v}^\top\vec{n} + (\sin\frac{\theta}{2})^2 (\vec{n}\times \vec{v})^\top \vec{n}, \cdots]\\ &= [ (\sin\frac{\theta}{2})^2 (\vec{n}\times \vec{v})^\top \vec{n}, \cdots] \end{aligned}$

因为：

(v ⃗ ⊤ \times n ⃗) n ⃗ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ i n x x j n y y k n z z ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ n ⃗ = [(n y z - n z y) i - (n x z - n z x) j + (n x y - n y x) k] . * [n x, n y, n z] = [(n y z - n z y), - (n x z - n z x), (n x y - n y x)] . * [n x, n y, n z] = n x n y z - n x n z y - n x n y z + n y n z x + n x n z y - n z n y x = 0

$\begin{aligned} (\vec{v}^\top \times\vec{n}) \vec{n} &= \begin{bmatrix} i & j & k\\ n_x & n_y & n_z\\ x & y& z \end{bmatrix}\vec{n}\\ &= [(n_yz-n_zy)i -(n_xz-n_zx)j + (n_xy-n_yx)k].*[n_x, n_y, n_z]\\ &= [(n_yz-n_zy), -(n_xz-n_zx), (n_xy-n_yx)].*[n_x, n_y, n_z]\\ &= n_xn_yz - n_xn_zy- n_xn_yz + n_yn_zx + n_xn_zy -n_zn_yx\\ &=0 \end{aligned}$

所以 $\vec{p}' = \vec{q}\vec{p}\vec{q}^{-1}$ 的实部为0.