P4208 [JSOI2008]最小生成树计数

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本文详细解析了一道经典的图论题目——JSOI2008最小生成树计数问题。通过使用C++实现的深度优先搜索（DFS）和并查集算法，有效地计算出在给定的加权无向图中，有多少种不同的最小生成树。文章深入介绍了算法的设计思路、关键步骤和实现细节。

P4208 [JSOI2008]最小生成树计数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
const int mod = 31011;
struct Edge {
	int now, to, val;
}edge[maxn];//存边 
struct Mintree {
	int l, r, val;
}mintree[maxn];//记录相同边的个数,l表示相同的边从第几位开始,r表示到底几位结束,val表示最小生成树需要用到几条这样的边 
int fa[maxn];
int n, m, sum;
int cmp(Edge a, Edge b) {
	return a.val < b.val;
}
int findfa(int x) {
	if(x == fa[x]) return x;
	return x = findfa(fa[x]);//这里不能路径压缩,因为dfs中还有回溯 
}
void dfs(int x, int now, int k) {//k代表dfs过程中搜到了几条这样的边 
	if(now == mintree[x].r + 1) {
		if(k == mintree[x].val) sum++;//如果k等于最小生成树需要这个边权的数量,排列方式++
		return; 
	}
	int fax = findfa(edge[now].now), fay = findfa(edge[now].to);
	if(fax != fay) {//如果不构成环
		fa[fax] = fay;
		dfs(x, now + 1, k + 1);//计入这条边,搜索下一条与这个边权相同的边
		fa[fax] = fax; fa[fay] = fay;//回溯 
	}
	dfs(x, now + 1, k);//如果构成环,则不计这条边,直接搜索下一条边 
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		fa[i] = i;
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> edge[i].now >> edge[i].to >> edge[i].val;
	}
	sort(edge + 1, edge + m + 1, cmp);
	int cnt = 0, cntt = 0;//cnt记录不同边的数量
	//cntt记录最小生成树的总结点,用于判断能否构成
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(edge[i].val != edge[i - 1].val) {
			cnt++;
			mintree[cnt].l = i; 
			mintree[cnt - 1].r = i - 1;//记录相同边的位置
		}
		int fax = findfa(edge[i].now);
		int fay = findfa(edge[i].to);
		if(fax != fay) {
			fa[fax] = fay;
			mintree[cnt].val++;
			cntt++;
		}//最小生成树 
	}
	mintree[cnt].r = m;//初始化端点值  
	
	if(cntt != n - 1) {
		cout << 0;
		return 0;
	}
	int ans = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;//重置fa数组
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
		sum = 0;//sum表示在相同边权的边中能够成最小生成树的边有几条
		dfs(i, mintree[i].l, 0);//找边 
		ans = (ans * sum) % mod;//乘法原理
		for(int j = mintree[i].l; j <= mintree[i].r; j++) {
			int fax = findfa(edge[j].now), fay = findfa(edge[j].to);
			if(fax != fay) fa[fax] = fay;//把刚才dfs搜过的边(dfs中已经回溯了)重新连起来,以便下一个边权不同的边dfs 
		} 
	}
	cout << ans;
	return 0; 
} 
/*
4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1
*/