AT186 平均値太郎の憂鬱题解-优快云博客

文章讲述了如何解决一道涉及分式、多项式混合运算及整除问题的编程题目，强调避免使用系统自带的gcd函数，并通过推导和代码实现求解过程中n和m的关系。

本题是一道数学（分式，多项式混合运算，整除）问题，考察大家的数学功底。

1. 坑点

不要使用系统自带的 $gcd⁡()\gcd()$ 函数，因为系统自带函数传参是 $in t$ 型，而题里 $x$ 是长整型，会出错的。
如果有多组解，我们要输出多行，一行一组解（别看题里说的在第一行输出）。
输入格式为 $X / Y$ ，用 scanf("%d/%d",&x,&y) 输入即可。

2. 相关推导

由题， $xy=n(n+1)2−mn=n+12−mn\begin{aligned}\dfrac{x}{y} & =\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}-m}{n}\\ &=\dfrac{n+1}{2}- \dfrac{m}{n} \end{aligned}$ 。

所以，我们可以推出（中间过程我就不写了， $LaTeX\LaTeX$ 太难弄了）：

$m=ny(n+1)+2xn2ym=\dfrac{ny(n+1)+2xn}{2y}$ 。

因为 $m$ 为整数，所以 $ny(n+1)+2xn≡0(mod2y)ny(n+1)+2xn\equiv0\pmod{2y}$ 。

对于 $n y (n + 1)$ ， $n(n+1)≡0(mod2)n(n+1)\equiv0\pmod{2}$ 。

所以 $xn≡0(mody)xn\equiv0\pmod{y}$ 。

3. 代码（有注释）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x,y,n,m,GCD;
bool f;
long long gcd(long long a,long long b)//gcd递归模板 
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
	scanf("%lld/%lld",&x,&y),GCD=gcd(x,y);//注意输入格式，为"x/y"形式，scanf好用捏 
	x/=GCD,y/=GCD;//不要使用系统函数gcd，因为它传参是int型 
	n=x*2/y;
	while(n*n*y-2*n*x+n*y<=2*n*y)//当m<=n，不懂私信我
	{
		if(n%y!=0)//n要不是y的倍数就白扯 
		{
			n++;
			continue;
		}
		m=n*(n+1)/2-n/y*x;
		if(m>=1 && m<=n) cout<<n<<" "<<m<<endl,f=true;//可能有多组解，前往别急着return 
		n++;
	}
	if(!f) cout<<"Impossible"<<endl; 
	return 0;
}