C++学习计划 - 动态规划

luo_yihai

于 2024-08-28 20:35:57 发布

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分类专栏： C++学习计划文章标签： c++ 学习动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/luo_yihai/article/details/141647050

学习目标

掌握背包 DP
掌握最大连续子段和、最长上升子序列、最长公共子序列等问题
掌握区间 DP、棋盘 DP、金字塔 DP 等其他 DP

学习时间

周三晚上 18：00～21：00

DP 类型题目

数字三角形 - 金字塔 DP

题目内容

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5

在上面的样例中，从 $7\rightarrow3\rightarrow8\rightarrow7\rightarrow5$ 的路径产生的答案最大。

题解

思路：金字塔 DP，状态转移方程为：
$dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+a[i][j]$
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, a[1005][1005], dp[1005][1005];
int main() {
   
   
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= i; j++) cin >> a[i][j];
    dp[1][1] = a[1][1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= i; j++) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + a[i][j];
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, dp[n][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

骨头收藏家 - 01背包

题目内容

许多年前，在泰迪的家乡有一个人，他被称为 “骨头收藏家” 。这个人喜欢收集各种各样的骨头，比如狗的，牛的，他也去了坟墓…… .

收集骨头的人有一个体积为 $V$ 的大袋子，在他收集的过程中有很多骨头，很明显，不同的骨头有不同的价值，不同的体积，现在给出每根骨头在他的过程中的价值，你能计算出收集骨头的人能得到的最大总价值吗？

题解

思路：01背包，状态转移方程为：
$d p [j] = d p [j - w [i]] + v [i]$ （一维 DP 数组更省空间）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, V, dp[1005], w[1005], v[1005];
int main() {
   
   
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
   
   
        cin >> n >> V;
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
   
            for (int j = V; j >= w[i]; j--) dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
        cout << dp[V] << endl;
    }
    return 0;
}

疯狂的采药 - 多重背包

题目内容

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

每种草药可以无限制地疯狂采摘。
药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

题解

思路：多重背包，和01背包做法 ~~一模一样~~ 相似，状态转移方程为：
$d p [j] = d p [j - a [i]] + b [i]$
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T, m, a[10005], b[10005], dp[10000005];
int main() {
   
   
    cin >> T >> m;
    for (long long i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i] >> b[i];
    for (long long i = 1; i <= m; i++) {
   
   
        for (long long j = a[i]; j <= T; j++) {
   
   
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + b[i]);
        }
    }
    cout << dp[T] << endl;
    return 0;
}