[LOJ2334] 「JOI 2017 Final」JOIOI 王国（二分答案）

题意

JOIOI 王国是一个 $H$ 行 $W$ 列的长方形网格，每个 $1\times 1$ 的子网格都是一个正方形的小区块。为了提高管理效率，我们决定把整个国家划分成两个省 JOI 和 IOI 。

我们定义，两个同省的区块互相连接，意为从一个区块出发，不用穿过任何一个不同省的区块，就可以移动到另一个区块。有公共边的区块间可以任意移动。
我们不希望划分得过于复杂，因此划分方案需满足以下条件：

• 区块不能被分割为两半，一半属 JOI 省，一半属 IOI 省。
• 每个省必须包含至少一个区块，每个区块也必须属于且只属于其中一个省。
• 同省的任意两个小区块互相连接。
• 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省。

现给出所有区域的海拔，你需要求出$max$(JOI省海拔极差，IOI省海拔极差)的最小值。

首先观察题目，发现合法的划分一定是阶梯型，考虑二分答案，我们发现最大值和最小值不在同一块。

那么我们考虑两种阶梯形的情况，每次分别填入最大值和最小值一共四种情况，判定的时候我们可以利用阶梯长度递减的性质，贪心找到一个最优的阶梯，每次四种情况一起判定 如果一种可行那么当前答案就可行。

复杂度$O(nm\log L),L=max-min$。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int read()
{
	int _ = 0, __ = getchar(), ___ = 1; 
	for(; !isdigit(__); __ = getchar()) if(__ == '-') ___ = -1;
	for(; isdigit(__); __ = getchar()) _ = (_ << 3) + (_ << 1) + (__ ^ 48);
	return _ * ___;
}

const int N = 2000 + 7;

int premax[N][N], sufmax[N][N], premin[N][N], sufmin[N][N];
int tmp[N], n, m, mn = tmp[0] = 2e9, mx = -2e9;

bool check1(int lim)
{
	int mnlim = mn + lim, mxlim = mx - lim, lst = m;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		tmp[i] = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++ j)
			if(premax[i][j] <= mnlim) 
				tmp[i] = j; 
	}
	for(int i = n; i >= 1; -- i)
	{
		lst = min(tmp[i], lst);
		if(sufmin[i][lst + 1] < mxlim)
			return false;
	}
	return true;
}

bool check2(int lim)
{
	int mnlim = mn + lim, mxlim = mx - lim, lst = m;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		tmp[i] = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++ j)
			if(premin[i][j] >= mxlim) 
				tmp[i] = j; 
	}
	for(int i = n; i >= 1; -- i)
	{
		lst = min(tmp[i], lst);
		if(sufmax[i][lst + 1] > mnlim)
			return false;
	}
	return true;
}

bool check3(int lim)
{
	int mnlim = mn + lim, mxlim = mx - lim, lst = m;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		tmp[i] = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++ j)
			if(premax[i][j] <= mnlim) 
				tmp[i] = j; 
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		lst = min(tmp[i], lst);
		if(sufmin[i][lst + 1] < mxlim)
			return false;
	}
	return true;
}

bool check4(int lim)
{
	int mnlim = mn + lim, mxlim = mx - lim, lst = m;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		tmp[i] = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++ j)
			if(premin[i][j] >= mxlim) 
				tmp[i] = j; 
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		lst = min(tmp[i], lst);
		if(sufmax[i][lst + 1] > mnlim)
			return false;
	}
	return true;
}

bool check(int lim)
{
	if(check1(lim) || check2(lim) || check3(lim) || check4(lim))
		return true;
	return false;
}

int main() 
{
	//freopen("separate.in", "r", stdin);
	//freopen("separate.out", "w", stdout);

	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		for(int j = 1; j <= m; ++ j)
		{
			premax[i][j] = premin[i][j] = sufmax[i][j] = sufmin[i][j] = read();
			if(premax[i][j] > mx) 
				mx = premax[i][j];
			if(premin[i][j] < mn)
				mn = premin[i][j];
		}
		sufmin[i][m + 1] = 2e9;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		for(int j = 2; j <= m; ++ j)
		{
			premax[i][j] = max(premax[i][j - 1], premax[i][j]);
			premin[i][j] = min(premin[i][j - 1], premin[i][j]);
		}
		for(int j = m; j >= 2; -- j)
		{
			sufmax[i][j - 1] = max(sufmax[i][j], sufmax[i][j - 1]);
			sufmin[i][j - 1] = min(sufmin[i][j], sufmin[i][j - 1]);
		}
	}

	int l = 0, r = mx - mn, ans;
	while(l <= r) 
	{
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(check(mid)) 
			ans = mid, r = mid - 1;
		else 
			l = mid + 1;
	}

	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}