poj2470

Longge's problem

Description

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it. 

Input

Input contain several test case. 
A number N per line. 

Output

For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line

Sample Input

2
6

Sample Output

3
15

Source

POJ Contest,Author:Mathematica@ZSU

很难的一个公式推导，利用了积性函数的性质。学习了网上的解题报告才勉强理解。先给出一个证明吧：首先假设n有一个约数d，那么怎样计算出1～n中最大公约数为d的个数呢？很显然，这个个数实质上是等于fin(n/d)(其中先用fin代表欧拉函数），想到这里的话，基本上就确定了策略，我们先枚举出n的所有约数，然后求出每一个的欧拉函数，然后d*fin(n/d)相加后的结果即为所求，但是枚举出n的所有约数，这是一个很难的问题，首先那些因数怎么求呢？不过，题目是求和，并不是一个一个地求，于是我们把欧拉函数的公式套上，可得d*n/d*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm),化简得到n*(1-1/p1)(1-1/p2)*..(1-1/pm),那么所有的项其实都可以提一个n出来，于是关键是求最后一部分的和，首先最后一部分其实是n/d的因数分解所得出的p1,p2,...pm,那么我们考虑假设n的因数分解是p1^r1*p2^r2*...*pn^rn,那么n的因子d其实都可以表示成p1^k1*p2^k2*...pn^kn,其中0<=ki<=ri,那么如果ki不为ri的话，n/d这个数中必然含有p1这个素因子，否则的话就不含p1这个素因子，到了这里，利用排列组合的知识我们可以写出一个最后一部分的和的公式了:(1+r1*(1-1/p1))*(1+r2*(1-1/p2))*...(1+rn*(1-1/pn));其实是这样的,当不包含p1这个素因子时，第一项选1，然后若包含p1这项因子时，那么n/d中的p1的指数可以有r1中情况，所以第一项选最后一个r1*(1-1/p1)。然后得出了最后的公式n*((1+r1*(1-1/p1))*(1+r2*(1-1/p2))*...(1+rn*(1-1/pn)));现在只需要进行因数分解，这个问题可以在大概的O(sqrt(n))的时间求出。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

long long calculate(long long n) {
    long long ans = n;
    for (int i = 2; i <= (int) sqrt((double) n); i++) {
        int num = 0;
        if (!(n % i)) {
            while (!(n % i)) {
                num++;
                n /= i;
            }
            ans += ans * num * (i - 1) / i;
        }
    }
    if (n - 1)
        ans += ans * (n - 1) / n;
    return ans;
}

int main(void) {
    long long n;
    while (scanf("%lld", &n) != -1) {
        printf("%lld\n", calculate(n));
    }
    return 0;
}