算法学习4——分治算法

1.斯特林数

斯特林数（第二类）的解法是用于计算将一个集合划分为若干个非空子集的方法数。对于题目描述中的问题，即如何将集合 {1, 2, ..., n} 划分为若干个非空子集，我们使用斯特林数的思想来解决。

一、斯特林数（第二类）简介

斯特林数（第二类）表示将一个包含 nnn 个元素的集合划分成 kkk 个非空子集的数量，记作 S(n,k)S(n, k)S(n,k)。

斯特林数的特点：

1. 每个子集都必须非空。
2. S(n,k) 表示将 n 个元素划分为 k 个非空子集的方式数。

例如，当 n=3n = 3n=3，我们可以将集合 {1, 2, 3} 划分为以下几种情况：

• 1 个子集：{{1, 2, 3}}
• 2 个子集：{{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}}, {{3}, {1, 2}}
• 3 个子集：{{1}, {2}, {3}}

二、递推公式

• 

三、总划分数的计算

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int MAX = 18;

//初始化斯特林数的动态规划表
long long S[MAX + 1][MAX + 1] = { 0 };

//由于题目中的18是一个较小的数字，且要对n进行反复的查看，因此存储每个n的斯特林数的值
long long partitions[MAX + 1] = { 0 };

void precompute_strling() {
	//初始化
	S[0][0] = 1;

	//动态计算斯特林数
	for (int n = 1; n <= MAX; n++){
		for (int k = 1; k <= n; k++) {
			S[n][k] = S[n - 1][k - 1] + k * S[n - 1][k];
		}
	}

	//存储
	for (int n = 1; n <= MAX; n++) {
		for (int k = 1; k <= n; k++) {
			partitions[n] += S[n][k];
		}
	}
}


int main() {
	int n;
	precompute_strling();
	while (cin >> n) {
		
		cout << partitions[n] << endl;
	}
	return 0;
}